每日一题[499]裂项求和

已知在数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_p+a_q=a_{p+q}$($p,q\in\mathcal N^*$)．

（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；

（2）若数列$\{b_n\}$满足$b_1=1$，$b_{n+1}=\dfrac{a_n}{2b_n}$，求证：

$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}\geqslant \sqrt{2a_n}-1.$$

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 解与证明    （1）令$p=1$，$q=n$，则有

$$\forall n\in\mathcal N^*,a_{n+1}=a_n+a_1=a_n+2,$$ 于是$a_n=2n$($n\in\mathcal N^*$)．

（2）题意即$b_{n+1}=\dfrac{n}{b_n}$，求证：

$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}\geqslant 2\sqrt n-1.$$

考虑利用裂项求和，由于

$$b_nb_{n+1}=n,b_{n+1}b_{n+2}=n+1,$$ 于是 $$b_{n+1}(b_{n+2}-b_n)=1,$$ 从而 $$\dfrac{1}{b_{n+1}}=b_{n+2}-b_n,$$ 于是 $$\begin{split} \dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}&=1+(b_3-b_1)+(b_4-b_2)+\cdots +(b_{n+1}-b_{n-1}) \\ &=1-b_1-b_2+b_n+b_{n+1}\\ &\geqslant 2\sqrt{b_nb_{n+1}}-1\\ &=2\sqrt{n}-1,\end{split}$$ 因此不等式得证．