每日一题[482]逐步调整

已知点$A(m,0)$和双曲线$x^2-y^2=1$右支上的两个动点$B,C$，在动点$B,C$运动的过程中，若存在三个等边三角形$ABC$，则实数$m$的取值范围是_______．

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分析与解    考虑以点$A$为圆心，$r$为半径的圆与双曲线交于$4$个点$M,N,P,Q$，且$M,N$位于$x$轴上方，$P,Q$位于$x$轴下方，点$M$与点$Q$的横坐标相同，点$N$与点$P$的横坐标相同，点$M$的横坐标大于点$N$的横坐标．线段$MN$的中点为$H$，双曲线的右顶点为$G$，如图．

显然$\triangle MAQ$和$\triangle NAP$均可通过调整$r$变为$A$所对的边与$x$轴垂直的等边三角形，且调整成的等边三角形相同．考虑到图形的对称性，只需要研究$\triangle MAN$与$\triangle NAQ$是否能够通过调整变为等边三角形．

联立双曲线$x^2-y^2=1$与圆$(x-m)^2+y^2=r^2$，有

$$r^2=2\left(x-\dfrac 12m\right)^2+\dfrac {m^2}2-1,$$ 因此点$H$的横坐标为定值$\dfrac m2$．设双曲线上横坐标为$\dfrac m2$的点为$E$，那么直线$MN$的极限位置即双曲线在点$E$处的切线．记$\angle EAG=\theta$，当$N$与$G$重合时，$\angle MAN=\varphi$．

当点$N$从$E$处运动到$G$处时，$\angle MAN$从$0$单调递增变化到$\varphi$；而$\angle NAQ$满足

$$\angle NAQ=2\theta -\angle EAN+\angle EAM=2\theta-2\angle EAH,$$ 由于$H$点的纵坐标递减，因此$\angle EAH$单调递增，因此$\angle NAQ$从$2\theta$单调递减变化到$\varphi$．

由于$\angle MAN$与$\angle NAQ$的变化区间无公共部分，因此当$\angle MAN$和$\angle NAQ$变化的区间的并集$\left(0,2\theta\right)$中包含$\dfrac{\pi}3$时符合题意，也即问题等价于保证$\theta>\dfrac{\pi}6$，也即$E$处切线的斜率小于$\sqrt 3$．

由于$y=\sqrt{x^2-1}$的导数

$$y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}},$$ 于是只需要 $$\dfrac{\dfrac m2}{\sqrt{\left(\dfrac m2\right)^2-1}}<\sqrt 3,$$ 解得 $$m>\sqrt 6.$$