每日一题[479]代数与几何

已知$\ln a-\ln 3=\ln c$，$bd=-3$，求$(a-b)^2+(c-d)^2$的最小值．

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解    法一

根据已知，有$a=3c$且$c>0$，于是

$$\begin{split} (a-b)^2+(c-d)^2&=\left(3c+\dfrac 3d\right)^2+(c-d)^2 \\ &=10c^2+\left(\dfrac{18}d-2d\right)c+\dfrac{9}{d^2}+d^2 \\ &=10\left[c+\dfrac 1{10}\left(\dfrac 9d-d\right)\right]^2+\dfrac{9}{10}\left(d^2+\dfrac{1}{d^2}\right)+\dfrac 95\\&\geqslant \dfrac{18}5,\end{split}$$ 等号当 $$\begin{cases} c+\dfrac 1{10}\left(\dfrac 9d-d\right)=0,\\ d^2=1,\\ c>0\end{cases}$$ 时，也即 $d=-1$，$c=\dfrac 45$时取得，因此所求代数式的最小值为$\dfrac{18}5$．

法二

根据已知，有$a=3c$且$c>0$，因此题中代数式为射线$y=3x$($x>0$)上的点$A$到函数$y=-\dfrac 3x$上的点$B$的距离的平方．由几何意义，考虑函数$y=-\dfrac 3x$的斜率为$3$的切线，切点$T$的横坐标$t$满足

$$\dfrac 3{t^2}=3.$$ 取$T(-1,3)$，则过$T$作射线$y=3x$($x>0$)的垂线，可得所求代数式的最小值为 $$d^2=\left(\dfrac{|3\cdot (-1)-3|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\right)^2=\dfrac{18}5.$$