每日一题[474]阴影的面积

如图,正方形的边长为$2$,求阴影部分的面积.

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   如图建系,设$A(-1,-1)$,$E(0,1)$,$D(-1,1)$,点$M$是圆$x^2+y^2=1$与$(x+1)^2+(y+1)^2=4$在第二象限的交点,点$N(1,0)$.

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所求阴影部分的面积为$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN},$$其中各个部分均为曲边三角形,很容易计算$$S_{DBC}=4-\pi,S_{ECN}=\dfrac 14S_{DBC}=1-\dfrac{\pi}4,$$于是问题的关键是计算$$S_{DME}=S_{OADE}-S_{OEM}-S_{ADM}-S_{\triangle OAM}.$$

联立两个圆的方程,可得$M\left(\dfrac{1-\sqrt 7}4,\dfrac{1+\sqrt 7}4\right)$,于是$$S_{OADE}=\dfrac 32,S_{\triangle OAM}=\dfrac{\sqrt 7}4.$$设$\angle MOE=\alpha$,$\angle MAD=\beta$,则可以计算得$$\alpha=\dfrac 12\arcsin\dfrac 34,\beta=\dfrac 12\arcsin\dfrac 9{16},$$因此$$S_{OEM}=\dfrac 12\alpha=\dfrac 14\arcsin\dfrac 34,S_{ADM}=2\beta=\arcsin\dfrac 9{16},$$这样就有$$S_{DME}=\dfrac 32-\dfrac{\sqrt 7}4-\dfrac 14\arcsin\dfrac 34-\arcsin\dfrac 9{16}.$$

综上所述,有所求阴影部分面积为$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN}=\dfrac{\sqrt 7}2-\dfrac {3\pi}4+\dfrac 12\arcsin\dfrac 34+2\arcsin\dfrac{9}{16}\approx 0.5855.$$

 本题思路方法很多,比如也可以考虑阴影部分包含的弧在圆$A$与圆$O$中所对应的弓形,通过两个弓形的面积相减得到所求阴影部分的面积,通过这种方式计算出阴影部分的面积为$$\arccos\dfrac{\sqrt 2}{4}-4\arccos\dfrac{5\sqrt 2}{8}+\dfrac {\sqrt 7}{2}.$$

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