每日一题[474]阴影的面积

如图，正方形的边长为$2$，求阴影部分的面积．

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解    如图建系，设$A(-1,-1)$，$E(0,1)$，$D(-1,1)$，点$M$是圆$x^2+y^2=1$与$(x+1)^2+(y+1)^2=4$在第二象限的交点，点$N(1,0)$．

所求阴影部分的面积为

$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN},$$ 其中各个部分均为曲边三角形，很容易计算 $$S_{DBC}=4-\pi,S_{ECN}=\dfrac 14S_{DBC}=1-\dfrac{\pi}4,$$ 于是问题的关键是计算 $$S_{DME}=S_{OADE}-S_{OEM}-S_{ADM}-S_{\triangle OAM}.$$

联立两个圆的方程，可得$M\left(\dfrac{1-\sqrt 7}4,\dfrac{1+\sqrt 7}4\right)$，于是

$$S_{OADE}=\dfrac 32,S_{\triangle OAM}=\dfrac{\sqrt 7}4.$$ 设$\angle MOE=\alpha$，$\angle MAD=\beta$，则可以计算得 $$\alpha=\dfrac 12\arcsin\dfrac 34,\beta=\dfrac 12\arcsin\dfrac 9{16},$$ 因此 $$S_{OEM}=\dfrac 12\alpha=\dfrac 14\arcsin\dfrac 34,S_{ADM}=2\beta=\arcsin\dfrac 9{16},$$ 这样就有 $$S_{DME}=\dfrac 32-\dfrac{\sqrt 7}4-\dfrac 14\arcsin\dfrac 34-\arcsin\dfrac 9{16}.$$

综上所述，有所求阴影部分面积为

$$S_{DBC}-2S_{DME}-S_{ECN}=\dfrac{\sqrt 7}2-\dfrac {3\pi}4+\dfrac 12\arcsin\dfrac 34+2\arcsin\dfrac{9}{16}\approx 0.5855.$$

注　本题思路方法很多，比如也可以考虑阴影部分包含的弧在圆$A$与圆$O$中所对应的弓形，通过两个弓形的面积相减得到所求阴影部分的面积，通过这种方式计算出阴影部分的面积为

$$\arccos\dfrac{\sqrt 2}{4}-4\arccos\dfrac{5\sqrt 2}{8}+\dfrac {\sqrt 7}{2}.$$