每日一题[491]数字黑洞--Kaprekar常数

定义$\overline{abc}$是一个三位数，其中各数位上的数字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同．定义如下运算$f$：把$\overline{abc}$的三个数字$a,b,c$自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补$0$），然后用“较大数”减去“较小数”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定义一个三位数序列：第一次实施运算$f$的结果记为$\overline{a_1b_1c_1}$，对于$n>1$且$n\in \mathcal{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．将$\overline{a_nb_nc_n}$的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为$d_n$．

（1）当$\overline{abc}=636$时，求$\overline{a_1b_1c_1}$，$\overline{a_2b_2c_2}$及$d_2$的值；

（2）若$d_1=6$，求证：当$n>1$时，$d_n=5$；

（3）求证：对任意三位数$\overline{abc}$，$n\geqslant 6$时，$\overline{a_nb_nc_n}=495$．

分析与解    （1）$\overline{a_1b_1c_1}=297$，$\overline{a_2b_2c_2}=693$，$d_2=6$．

（2）易知，$f\left (\overline{a_{n}b_{n}c_{n}} \right )=99d_n$．

下面我们用数学归纳法来证明“当$n>1$时，$d_n=5$”．

当$n=2$时，因为$d_1=6$，所以 $$\overline{a_2b_2c_2}=f\left (\overline{a_{1}b_{1}c_{1}} \right )=594,$$ 故$d_2=5$．

所以$n=2$时，要证的命题成立．

假设$n=k>1$时要证的命题成立，即$d_k=5$．则$n=k+1$时， $$\overline{a_{k+1}b_{k+1}c_{k+1}}=f\left (\overline{a_{k}b_{k}c_{k}} \right )=99d_k=495,$$ 所以$d_{k+1}=5$．

故$n=k+1$时，要证的命题也成立．

综上所述，命题“当$n>1$时，$d_n=5$”成立．

（3）易知，$d\in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$．

因为 $$\overline{a_{1}b_{1}c_{1}}=f\left (\overline{abc} \right )=99d=\overline{d00}-\overline{00d},$$ 所以$a_1=d-1,b_1=9,c_1=10-d$，故 $$d_1=\begin{cases}10-d,&d \leqslant 5,\\d-1,&d>5,\end{cases}$$ 因此$d_1 \in \{ 5,6,7,8,9 \}$．

若$d_1=5$，则$\overline{a_2b_2c_2}=\overline{a_3b_3c_3}=\cdots=495$；

若$d_1=6$，则$d_2=5$，故$\overline{a_3b_3c_3}=\overline{a_4b_4c_4}=\cdots=495$；

若$d_1=7$，则$d_2=6,d_3=5$，故$\overline{a_4b_4c_4}=\overline{a_5b_5c_5}=\cdots=495$；

若$d_1=8$，则$d_2=7,d_3=6,d_4=5$，故$\overline{a_5b_5c_5}=\overline{a_6b_6c_6}=\cdots=495$；

若$d_1=9$，则$d_2=8,d_3=7,d_4=6,d_5=5$，故$\overline{a_6b_6c_6}=\overline{a_7b_7c_7}=\cdots=495$．

综上所述，对任意三位数$\overline{abc}$，当$n\geqslant 6$时，均有$\overline{a_nb_nc_n}=495$．

注    这个问题叫做“Kaprekar问题”，由印度数学家Kaprekar在1949年提出．我们还可以证明，对于各个数位上的数字不全相同的四位数来说，最多进行$7$次题中所描述的操作，即可得到常数$6174$．