每日一题[455]形影不离

已知过点$P\left(1,\dfrac 14\right)$的直线$l_1,l_2$分别与椭圆$\dfrac{x^2}4+y^2=1$相交于点$A,C$与$B,D$，且$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}=2\overrightarrow{PD}$，求直线$AB$的方程．

---

解    设$A(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$，则

$$\begin{cases} x_2=\dfrac{3\cdot 1-x_1}{2},\\ y_2=\dfrac{3\cdot \dfrac 14-y_1}{2},\end{cases}$$ 于是 $$\dfrac{\left(\dfrac{3-x_1}2\right)^2}4+\left(\dfrac{\dfrac 34-y_1}{2}\right)^2=1,$$ 即 $$\dfrac{x_1^2}4+y_1^2-\dfrac 32x_1-\dfrac 32y_1-\dfrac {19}{16}=0,$$ 也即 $$x_1+y_1+\dfrac 18=0.$$ 类似的，点$B(x_3,y_3)$的坐标也满足 $$x_3+y_3+\dfrac 18=0,$$ 因此直线$AB$的方程为 $$x+y+\dfrac 18=0.$$

注    当然，用同样的方法，可以求出直线$CD$的方程为

$$x+y-\dfrac{31}{16}=0.$$