一、点线面的位置关系判断
1．已知$a,b$是不垂直的异面直线，则$a,b$在平面$\alpha$内的射影可能为_____．
①两条平行直线
②两条垂直直线
③同一条直线
④一条直线及其外一点
答案 ①②④
2．已知$a,b$为异面直线，则过$a$与$b$垂直的平面可能有_____．
①$0$个
②$1$个
③超过$1$个的有限个
④无穷多个
答案 ①②
3．已知$a,b$为异面直线，$P$是不在$a,b$上的任意一点，下列四个结论中正确的有_____．
①过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都相交
②过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都垂直
③过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都平行
④过$P$一定可作平面$\alpha$与$a,b$都平行
答案 ②
4．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥可能是_____．
①斜三棱锥
②不是正四面体的正三棱锥
③正四面体
④三个侧面都是直角三角形的三棱锥
答案 ①②③④
二、空间向量
下列关于空间向量的命题中，正确的有_____．
①若向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$与空间任意向量都不能构成基底，则$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$；
②若非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a\perp\overrightarrow b$，$\overrightarrow b\perp \overrightarrow c$，则有$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow c$；
③若$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$是空间的一组基底，且$\overrightarrow {OD}=\dfrac 13\overrightarrow {OA}+\dfrac 13\overrightarrow {OB}+\dfrac 13\overrightarrow {OC}$，则$A,B,C,D$四点共面；
④若向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow b+\overrightarrow c,\overrightarrow c+\overrightarrow a$是空间一组基底，则$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$也是空间的一组基底．
答案 ①③④．
三、立体几何相关计算
1．直线$l$与平面$\alpha $所成角的$\dfrac {\pi}{6}$，$l\cap \alpha =A$，$m\subset \alpha $，$A\notin m$，则$m$与$l$所成角的取值范围是_____．
答案 $\left[\dfrac {\pi}{6},\dfrac {\pi}{2}\right ]$．
2．点$A,B$到平面$\alpha $的距离分别为$12,20$，若斜线$AB$与$\alpha $成$30^\circ$角，则$AB$的长等于_____．
答案 $16$或$64$．
3．直二面角$\alpha -l-\beta$的棱$l$上有一点$A$，在平面$\alpha ,\beta$内各有一条射线$AB,AC$与$l$成$45^\circ$，则$\angle BAC=$_____．
答案 $60^\circ$或$120^\circ$．
4．一直线与直二面角的两个面所成的角分别为$\alpha ,\beta$，则（ ）
A．$\alpha +\beta<90^\circ$
B．$\alpha +\beta\leqslant 90^\circ$
C．$\alpha +\beta>90^\circ$
D．$\alpha +\beta\geqslant 90^\circ$
答案 B
5．（1）与空间四边形$ABCD$四个顶点距离相等的平面共有_____个；
（2）空间四边形中，互相垂直的棱最多有____对；
（3）空间四面体中，是直角三角形的面最多有____个；
（4）异面直线$a,b$所成角为$60^\circ$，过空间一空点$P$作直线$l$与$a,b$所成的角均为$60^\circ$，这样的直线有____条；
答案 （1）$7$；（2）$3$；（3）$4$；（4）$3$．
注意区分空间四边形与空间四面体．