[易错题汇编](九)立体几何篇

一、点线面的位置关系判断

1.已知$a,b$是不垂直的异面直线,则$a,b$在平面$\alpha$内的射影可能为_____.

①两条平行直线

②两条垂直直线

③同一条直线

④一条直线及其外一点


答案 ①②④

2.已知$a,b$为异面直线,则过$a$与$b$垂直的平面可能有_____.

①$0$个

②$1$个

③超过$1$个的有限个

④无穷多个

答案 ①②

3.已知$a,b$为异面直线,$P$是不在$a,b$上的任意一点,下列四个结论中正确的有_____.

①过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都相交

②过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都垂直

③过$P$一定可作直线$l$与$a,b$都平行

④过$P$一定可作平面$\alpha$与$a,b$都平行

答案 ②

4.底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥可能是_____.

①斜三棱锥

②不是正四面体的正三棱锥

③正四面体

④三个侧面都是直角三角形的三棱锥

答案 ①②③④


二、空间向量

下列关于空间向量的命题中,正确的有_____.

①若向量$\overrightarrow a,\overrightarrow  b$与空间任意向量都不能构成基底,则$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow b$;

②若非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a\perp\overrightarrow b$,$\overrightarrow b\perp \overrightarrow c$,则有$\overrightarrow a\parallel \overrightarrow c$;

③若$\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB},\overrightarrow {OC}$是空间的一组基底,且$\overrightarrow {OD}=\dfrac 13\overrightarrow {OA}+\dfrac 13\overrightarrow {OB}+\dfrac 13\overrightarrow {OC}$,则$A,B,C,D$四点共面;

④若向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow b+\overrightarrow c,\overrightarrow c+\overrightarrow a$是空间一组基底,则$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$也是空间的一组基底.

答案 ①③④.


三、立体几何相关计算

1.直线$l$与平面$\alpha $所成角的$\dfrac {\pi}{6}$,$l\cap \alpha =A$,$m\subset \alpha $,$A\notin m$,则$m$与$l$所成角的取值范围是_____.

答案 $\left[\dfrac {\pi}{6},\dfrac {\pi}{2}\right ]$.

2.点$A,B$到平面$\alpha $的距离分别为$12,20$,若斜线$AB$与$\alpha $成$30^\circ$角,则$AB$的长等于_____.

答案 $16$或$64$.

3.直二面角$\alpha -l-\beta$的棱$l$上有一点$A$,在平面$\alpha ,\beta$内各有一条射线$AB,AC$与$l$成$45^\circ$,则$\angle BAC=$_____.

答案 $60^\circ$或$120^\circ$.

4.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为$\alpha ,\beta$,则(  )

A.$\alpha +\beta<90^\circ$

B.$\alpha +\beta\leqslant 90^\circ$

C.$\alpha +\beta>90^\circ$

D.$\alpha +\beta\geqslant 90^\circ$

答案 B

5.(1)与空间四边形$ABCD$四个顶点距离相等的平面共有_____个;

(2)空间四边形中,互相垂直的棱最多有____对;

(3)空间四面体中,是直角三角形的面最多有____个;

(4)异面直线$a,b$所成角为$60^\circ$,过空间一空点$P$作直线$l$与$a,b$所成的角均为$60^\circ$,这样的直线有____条;

答案 (1)$7$;(2)$3$;(3)$4$;(4)$3$.

注意区分空间四边形与空间四面体.

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