每日一题[452]最大张角

已知圆$O:x^2+y^2=4$，直线$l:y=kx+5$．

（1）若存在直线$l$上一点$A$以及圆$O$上一点$B$，使得$\angle OAB=\dfrac{\pi}6$，求$k$的取值范围；

（2）若对直线$l$上任意一点$A$，均存在圆$O$上一点$B$，使得$\angle OBA=\dfrac{\pi}6$，求$k$的取值范围．

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分析    先不考虑点$A$在直线$l$上这一条件，将注意力都放在当$A$点的位置确定时，随着点$B$的运动，$\angle OAB$或$\angle OBA$的变化范围．

解    （1）当点$A$位于圆$O$内（包含边界）时，显然存在$\angle OAB=\dfrac{\pi}6$．当点$A$位于圆$O$外部时，$\angle OAB$的取值范围是$\left[0,\arcsin\dfrac{2}{OA}\right]$，如图．

因此当$OA\leqslant 4$时，$\angle OAB$可以取得$\dfrac{\pi}6$．回到原问题，即圆心$O$到直线$l$的距离不大于$4$，也即

$$\dfrac{5}{\sqrt{1+k^2}}\leqslant 4,$$ 解得$k$的取值范围是$\left(-\infty,-\dfrac 34\right]\cup\left[\dfrac 34,+\infty\right)$．

（2）当点$A$位于圆$O$外（包含边界）时，显然存在$\angle OBA=\dfrac{\pi}6$．当点$A$位于圆$O$内部时，$\angle OBA$的取值范围是$\left[0,\arcsin\dfrac{OA}{2}\right]$，如图．

因此当$OA\geqslant 1$时，$\angle OBA$可以取得$\dfrac{\pi}6$．回到原问题，即圆心$O$到直线$l$的距离不小于$1$，也即

$$\dfrac{5}{\sqrt{1+k^2}}\geqslant 1,$$ 解得$k$的取值范围是$[-2\sqrt 6,2\sqrt 6]$．