每日一题[485] π 的估算

设$n$为偶数，且$n\geqslant 6$．记$S_n$为单位圆的内接正$n$边形的面积．

（1）证明：$\dfrac 43S_{2n}-\dfrac 13S_n<\pi<\dfrac 83S_{2n}-2S_n+\dfrac 13S_{\frac n2}$；

（2）已知$1.732<\sqrt 3<1.733$，$3.105<S_{24}<3.106$，证明：$3.14<\pi<3.15$．

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解    （1）容易计算得

$$S_n=\dfrac n2\sin\dfrac{2\pi}n,$$ 于是欲证明不等式即 $$\dfrac 43n\sin\dfrac{\pi}n-\dfrac 16n\sin\dfrac{2{\pi}}{n}<\pi<\dfrac 83n\sin\dfrac{\pi}n-n\sin\dfrac{2\pi}n+\dfrac 1{12}n\sin\dfrac{4\pi}n,$$ 也即 $$\dfrac 43\sin\dfrac{\pi}n-\dfrac 16\sin\dfrac{2\pi}n<\dfrac{\pi}n<\dfrac 83\sin\dfrac{\pi}n-\sin\dfrac{2\pi}n+\dfrac{1}{12}\sin\dfrac{4\pi}n.$$ 记$x=\dfrac{\pi}n$，只需要证明当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$时，有 $$\dfrac 43\sin x-\dfrac 16\sin 2x<x<\dfrac 83\sin x-\sin 2x+\dfrac{1}{12}\sin 4x.$$ 左侧不等式即 $$3x-4\sin x+\dfrac 12\sin{2x}>0,$$ 要此不等式成立只需要 $$3+(2\cos^2x-1)-4\cos x>0,$$ 也即 $$2(\cos x-1)^2>0,$$ 当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$时，显然成立；

接下来证明右侧不等式．右侧不等式即

$$8\sin x-3\sin{2x}+\dfrac 14\sin{4x}>3x,$$ 记函数 $$f(x)=8\cos x-6\cos 2x+\cos 4x,$$ 则其导函数 $$f'(x)=8\sin x(1-\cos x)(4\cos^2x+4\cos x-1),$$ 于是$f(x)$在$\left(0,\dfrac{\pi}6\right)$上单调递增，有 $$f(x)>f(0)=3,$$ 于是右侧不等式成立．

综上，原命题得证．

（2）在第（1）小题中，取$n=12$即得．

注   这种估算$\pi$的精度相当于用$x=\dfrac{\pi}{30}$时，$\sin x\approx x$估算$\pi$的精度．