每日一题[490]另类的比较大小

已知函数$f(x)=\dfrac{x^2}2+ax+2\ln x$在$x=2$处取得极值．

（1）求实数$a$的值及函数$f(x)$的单调区间；

（2）方程$f(x)=m$有三个实根$x_1,x_2,x_3$($x_1<x_2<x_3$)，求证：$x_3-x_1<2$．

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解    （1）函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x^2+ax+2}{x}.$$ 根据题意，$x=2$是函数$f'(x)$的零点，因此$a=-3$．经验证，$a=-3$符合题意，此时$f(x)$的单调递增区间是$(0,1)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间是$(1,2)$．

（2） 只需要证明对任意$x>0$，均有

$$f(x+2)-f(x)>0,$$ 即 $$\forall x>0,x-2+\ln\left(1+\dfrac 2x\right)>0.$$ 设函数 $$g(x)=x-2+\ln\left(1+\dfrac 2x\right),$$ 则$g(x)$的导函数 $$g'(x)=\dfrac{x^2+2x-2}{x^2+2x},$$ 因此$g(x)$的最小值为$g(\sqrt 3-1)$．接下来只需要证明$g(\sqrt 3-1)>0$．

法一    由于

$$\begin{split} g(\sqrt 3-1)&=\sqrt 3-3+\ln(\sqrt 3+1)-\ln(\sqrt  3-1) \\ &>\sqrt 3-3+ \ln {\rm e}-(\sqrt 3 -2)\\ &=0,\end{split}$$ 因此原命题得证．

法二   由于

$$g(\sqrt3 -1)=\ln (2+\sqrt 3)+\sqrt 3-3,$$ 于是只需要证明 $$\ln(2+\sqrt 3)>-\sqrt 3+3,$$ 即证明 $$\ln (2-\sqrt 3)<\sqrt 3-3.$$

注意到$2-\sqrt 3\approx \dfrac{1}{\rm e}$，于是取$y=\ln x$在$x=\dfrac{1}{{\rm e}}$处的切线，当$x\neq\dfrac{1}{\rm e}$时有

$$\ln x<{\rm e}\cdot \left(x-\dfrac{1}{\rm e}\right)-1,$$ 于是 $$\ln(2-\sqrt 3)<(2-\sqrt 3){\rm e}-2,$$ 因此只需证明 $$(2-\sqrt 3){\rm e}<\sqrt 3-1,$$ 即 $${\rm e}<\dfrac{\sqrt 3-1}{2-\sqrt 3}=1+\sqrt 3,$$ 这显然成立，因此原命题得证．

注    也可以利用$x_2$作为过渡，构造对称函数证明两个极值点偏移不等式

$$x_1+x_2>2,x_2+x_3<4.$$