每日一题[453]守卫边疆

已知$a,b,c,d$均为正实数，求

$$\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}$$ 的取值范围．

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分析与解    可以利用糖水不等式得到

$$\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b+c}>\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b+c+d}=1,$$ 同时 $$\sum_{cyc}\dfrac{a}{a+b+c}<\sum_{cyc}\dfrac{d+a}{a+b+c+d}=2.$$ 接下来的关键是确认$1,2$是题中代数式的下确界和上确界．

事实上，当$a,c,d\to 0$时，原式趋于$1$；当$a,b\to 0$，$c\to +\infty$，$d=1$时，原式趋于$2$．因此题中代数式的取值范围是$(1,2)$．