若函数f(x)=xlnx−ax2−x+1存在最大值,求a的取值范围.
解 考虑f(x)的导函数f′(x)=lnx−2ax=x(lnxx−2a),考虑函数y=lnxx与直线y=2a的交点情况,如图.
这里用到了(lnxx)′=1−lnxx2.
当2a⩾1e时,f′(x)<0,无最大值;
当0<2a<1e时,设两个交点满足0<x1<e<x2,则函数f(x)有最大值只需要f(x2)⩾limx→0+f(x)=1,即x2lnx2−ax22−x2+1⩾1,由lnx2x2=2a,于是上述不等式即x2⩾1a,由于函数y=lnxx在x>e上是单调递减函数,因此上述不等式等价于2a=lnx2x2⩽−alna,解得a⩽1e2.因此所求a的取值范围是(0,1e2].
注 其中用到了limx→0+xlnx=0,该极限等价于limx→+∞lnxx=0.可以通过0<lnxx<√xx证明.
一开始的处理可能直接考虑y=lnx与y=2ax的交点更直观一些吧,y=lnx的过原点的切线为y=x/e,切点是(e,1/e)。
需要用到lnx的凹凸性.
嗯,这个倒是。