每日一题[486]回到原点

若函数f(x)=xlnxax2x+1存在最大值,求a的取值范围.


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   考虑f(x)的导函数f(x)=lnx2ax=x(lnxx2a),考虑函数y=lnxx与直线y=2a的交点情况,如图.

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这里用到了(lnxx)=1lnxx2.

2a1e时,f(x)<0,无最大值;

0<2a<1e时,设两个交点满足0<x1<e<x2,则函数f(x)有最大值只需要f(x2)limx0+f(x)=1,x2lnx2ax22x2+11,lnx2x2=2a,于是上述不等式即x21a,由于函数y=lnxxx>e上是单调递减函数,因此上述不等式等价于2a=lnx2x2alna,解得a1e2.因此所求a的取值范围是(0,1e2]

  其中用到了limx0+xlnx=0,该极限等价于limx+lnxx=0.可以通过0<lnxx<xx证明.

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每日一题[486]回到原点》有3条回应

  1. liuyh03说:

    一开始的处理可能直接考虑y=lnxy=2ax的交点更直观一些吧,y=lnx的过原点的切线为y=x/e,切点是(e,1/e)

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