若函数f(x)=xlnx−ax2−x+1存在最大值,求a的取值范围.
解 考虑f(x)的导函数f′(x)=lnx−2ax=x(lnxx−2a),考虑函数y=lnxx与直线y=2a的交点情况,如图.
这里用到了(lnxx)′=1−lnxx2.
当2a⩾时,f'(x)<0,无最大值;
当0<2a<\dfrac{1}{\rm e}时,设两个交点满足0<x_1<{\rm e}<x_2,则函数f(x)有最大值只需要f(x_2)\geqslant \lim_{x\to 0+}{f(x)}=1,即x_2\ln{x_2}-ax_2^2-x_2+1\geqslant 1,由\dfrac{\ln x_2}{x_2}=2a,于是上述不等式即x_2\geqslant \dfrac 1a,由于函数y=\dfrac{\ln x}x在x>{\rm e}上是单调递减函数,因此上述不等式等价于2a=\dfrac{\ln x_2}{x_2}\leqslant -a\ln a,解得a\leqslant \dfrac{1}{{\rm e}^2}.因此所求a的取值范围是\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right].
注 其中用到了\lim\limits_{x\to 0+}{x\ln x}=0,该极限等价于\lim_{x\to +\infty}{\dfrac{\ln x}x}=0.可以通过0<\dfrac{\ln x}x<\dfrac{\sqrt x}x证明.
一开始的处理可能直接考虑y=\ln x与y=2ax的交点更直观一些吧,y=\ln x的过原点的切线为y=x/e,切点是(e,1/e)。
需要用到\ln x的凹凸性.
嗯,这个倒是。