每日一题[432]极值点偏移与对称化构造

已知$f(x)=x-1-\ln x$，若两相异正实数$x_1,x_2$满足$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$f'(x_1)+f'(x_2)<0$．

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证明    由于$f(x)$的导函数

$$f'(x)=1-\dfrac 1x,$$ 于是欲证不等式即$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>2$．

问题转化为

已知$g(x)=f\left(\dfrac 1x\right )=\ln x+\dfrac 1x-1$，若实数$x_1,x_2$满足$0<x_1<1<x_2$且$g(x_1)=g(x_2)$，求证：$x_1+x_2>2$．

我们利用对称化构造辅助命题：

$$\forall x\in (0,1),g(1+x)<g(1-x).$$

引理的证明是容易的，令函数

$$h(x)=\ln{(1-x)}+\dfrac{1}{1-x}-\ln{(1+x)}-\dfrac{1}{1+x},$$ 则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{x}{(1-x)^2}-\dfrac{x}{(1+x)^2}>0,$$ 而$h(0)=0$，于是$h(x)>0$，即辅助命题得证．

应用辅助命题我们有

$$g(x_2)=g(x_1)=g[1-(1-x_1)]>g(2-x_1),$$ 而$g(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，于是$x_2>2-x_1$，即 $$x_1+x_2>2,$$ 从而原命题得证．

注    也可以用换元法或A-L-G不等式证明．