每日一题[436]我家住着抛物线

这是我在QQ群帷幕中看到的题目：

已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathcal R$，且$a\neq 0$．记$M(a,b,c)$为$|f(x)|$在$[-1,1]$上的最大值，$M(a,b,c)\leqslant 2$，求$2|a|+|b|$的最大值．

分析    猜想当抛物线在矩形区域内尽量“舒展”时$2|a|+|b|$取得最大值，此时抛物线解析式为$y=4x^2-2$，如图．

解    最大值为$8$，当$f(x)=4x^2-2$时取得．

因为 $$2|a|+|b|=\max\{|2a+b|,|2a-b|\},$$ 又有 $$\begin{cases} f(0)=c,\\ f(1)=a+b+c, \\ f(-1)=a-b+c,\end{cases}$$ 所以由待定系数法可知 $$\begin{split} |2a+b|&=\left|\dfrac 32f(1)+\dfrac 12f(-1)-2f(0)\right |\\&\leqslant \dfrac 32|f(1)|+\dfrac 12|f(-1)|+2|f(0)|\\&\leqslant 8.\end{split}$$ 类似有 $$|2a-b|=\left|\dfrac 12f(1)+\dfrac 32f(-1)-2f(0)\right |\leqslant 8.$$ 所以 $$2|a|+|b|\leqslant 8.$$

对于最值问题，先推断出最值情况，再去证明是一种常见的处理思路．