每日一题[433]极值点偏移法

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一道趣题：

证明：${\sqrt 7}^{\sqrt 8}>{\sqrt 8}^{\sqrt 7}$．

参考数据：$2.64<\sqrt 7<2.65$，$2.82<\sqrt 8<2.83$，$2.71<{\rm e}<2.72$．

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分析    我们熟知由于函数$y=\dfrac{\ln x}x$在$(0,{\rm e})$上单调递增，在$({\rm e},+\infty)$上单调递减，于是当$a,b$均在${\rm e}$的同一侧时，很容易比较$a^b$与$b^a$的大小关系．但是$\sqrt 7 <{\rm e}<\sqrt 8$，因此我们需要构造极值点偏移不等式，将它们转化到同一侧．

解    先给出引理：如果$0<x_1<{\rm e}<x_2$，且$\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}$，那么

$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}>\dfrac 2{\rm e}.$$

设$\dfrac{\ln m}{m}=\dfrac{\ln \sqrt 8}{\sqrt 8}$，且$0<m<{\rm e}$．由于

$$\dfrac{2}{\dfrac{1}{\sqrt 7}+\dfrac{1}{\sqrt 8}}>\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac 17+\dfrac 18}}=\sqrt{\dfrac{112}{15}}=\sqrt{4+2\cdot\sqrt{\dfrac{676}{225}}}>\sqrt{4+2\sqrt 3}=1+\sqrt 3>{\rm e},$$ 因此根据上述引理，有 $$m<\dfrac{1}{\dfrac{2}{\rm e}-\dfrac{1}{\sqrt 8}}<\sqrt 7,$$ 再根据函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$在$(0,{\rm e})$上单调递增，有 $$\dfrac{\ln m}{m}<\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7},$$ 从而 $$\dfrac{\ln \sqrt 8}{\sqrt 8}<\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7},$$ 原不等式得证．

引理的证明可以参考 每日一题[83]极值点偏移不等式的对称化构造．

注    选择该极值点偏移不等式是经过尝试$x_1x_2>{\rm e}^2$以及$x_1+x_2>2{\rm e}$失败后吸取教训重新探索的．