每日一题[422]预则立

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：

设$S_n$是各项均为非零实数的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，若对于给定的正整数$n$($n>1$)和正数$M$，数列$\{a_n\}$满足$a_1^2+a_{n+1}^2=M$，则$S_n$的最大值为_______．

正确答案是$\sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}}$．

分析    由于$$S_n=\dfrac n2\left(a_1+a_n\right),$$于是联想到柯西不等式．因此需要用$a_1,a_{n+1}$表示$a_1+a_n$．

解    设$a_1+a_n=\alpha a_1+\beta a_{n+1}$，则$$2a_1+(n-1)d=(\alpha +\beta)a_1+\left(\beta n\right)d,$$因此解得$$\begin{cases} \alpha=\dfrac{n+1}n,\\ \beta=\dfrac{n-1}n,\end{cases} $$因此\[\begin{split} S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}2 \\ &=\dfrac{(n+1)a_1+(n-1)a_{n+1}}2 \\ &\leqslant \dfrac{\sqrt{(n+1)^2+(n-1)^2}\cdot\sqrt{a_1^2+a_{n+1}^2}}2 \\ &= \sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}},\end{split} \]所以$S_n$的最大值为$\sqrt{\dfrac{(n^2+1)M}{2}}$．