这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题:
设Sn是各项均为非零实数的等差数列{an}的前n项和,若对于给定的正整数n(n>1)和正数M,数列{an}满足a21+a2n+1=M,则Sn的最大值为_______.
正确答案是√(n2+1)M2.
分析 由于Sn=n2(a1+an),于是联想到柯西不等式.因此需要用a1,an+1表示a1+an.
解 设a1+an=αa1+βan+1,则2a1+(n−1)d=(α+β)a1+(βn)d,因此解得{α=n+1n,β=n−1n,因此Sn=n(a1+an)2=(n+1)a1+(n−1)an+12⩽√(n+1)2+(n−1)2⋅√a21+a2n+12=√(n2+1)M2,所以Sn的最大值为√(n2+1)M2.
这也太秀了,谢谢解答