本题是一个学生的问题:
已知不等式ax2−|x+1|+3a⩾0的解集为R,求a的取值范围.
正确答案是[12,+∞).
分析 问题等价于∀x∈R,ax2−|x+1|+3a⩾0,这种含参的不等式或方程问题中对参数的处理一般有全分离、半分离、不分离的三种方式.
解法一 全分离
问题等价于∀x∈R,a⩾|x+1|x2+3,令x+1=t,则右边即|t|t2−2t+4,记为f(t).由f(t)={1t+4t−2,t>0,0,t=0,−1t+4t−2,t<0,可得f(t)的值域为[0,12].因此a的取值范围是[12,+∞).
解法二 半分离
显然a≠0,于是问题等价于∀x∈R,x2+3⩾1a⋅|x+1|,如图.计算可知极限情况时1a=2,因此可得a的取值范围是[12,+∞).
解法三 不分离
此时需要一个小技巧:min{a,b}⩾c等价于a⩾c且b⩾c.
原题即{∀x∈R,ax2−(x+1)+3a⩾0,∀x∈R,ax2+(x+1)+3a⩾0,即{∀x∈R,ax2−x+3a−1⩾0,∀x∈R,ax2+x+3a+1⩾0,于是{a>0,1−4a(3a−1)⩽0,∧{a>0,1−4a(3a+1)⩽0,解得a⩾12,于是a的取值范围是[12,+∞).
注 解法一中,分离后也可以直接通过f(t)=1|t|+4|t|−2t|t|,由分母的最小值为2,得到f(t)的最大值为12.
更多相关问题见每日一题[234]分离变量、每日一题[299]分段与分离相遇.