每日一题[427]分?还是不分?

本题是一个学生的问题:

已知不等式ax2|x+1|+3a0的解集为R,求a的取值范围.


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正确答案是[12,+)

分析    问题等价于xR,ax2|x+1|+3a0,这种含参的不等式或方程问题中对参数的处理一般有全分离、半分离、不分离的三种方式.

解法一    全分离

问题等价于xR,a|x+1|x2+3,x+1=t,则右边即|t|t22t+4,记为f(t).由f(t)={1t+4t2,t>0,0,t=0,1t+4t2,t<0,可得f(t)的值域为[0,12].因此a的取值范围是[12,+)

解法二    半分离

显然a0,于是问题等价于xR,x2+31a|x+1|,如图.计算可知极限情况时1a=2,因此可得a的取值范围是[12,+)

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解法三    不分离

此时需要一个小技巧:min{a,b}c等价于acbc

原题即{xR,ax2(x+1)+3a0,xR,ax2+(x+1)+3a0,{xR,ax2x+3a10,xR,ax2+x+3a+10,于是{a>0,14a(3a1)0,{a>0,14a(3a+1)0,解得a12,于是a的取值范围是[12,+)

 解法一中,分离后也可以直接通过f(t)=1|t|+4|t|2t|t|,由分母的最小值为2,得到f(t)的最大值为12

更多相关问题见每日一题[234]分离变量每日一题[299]分段与分离相遇

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