每日一题[417]反客为主

已知$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的偶函数，且当$x\geqslant 0$时，$f(x)=\dfrac {x-2}{x+1}$，若对任意实数$t\in\left[\dfrac 12,2\right ]$，都有$f(t+a)-f(t-1)>0$恒成立，则实数$a$的取值范围是____．

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正确答案是$(-\infty,-3)\cup(0,+\infty)$．

解　函数$f(x)$的解析式与奇偶性告诉我们，$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增．

要想通过题中的函数不等式$f(t+a)>f(t-1)$得到自变量的关系，需要希望将$t+a,t-1$转移到同一个单调区间上，由偶函数的性质$f(x)=f(|x|)$容易得到它等价于

$$f(|t+a|)>f(|t-1|).$$ 从而知 $$\forall t\in\left[\dfrac 12,2\right ],|t+a|>|t-1|.$$ 两边平方整理得 $$\forall t\in\left[\dfrac 12,2\right ],2(a+1)t+a^2-1>0.$$ 当$a=-1$时，不等式不成立；

当$a\ne -1$时，转换主元，把该不等式看成关于$t$的一元一次不等式，则此不等式对$t\in\left[\dfrac 12,2\right ]$恒成立，只需要对两个端点成立即可，即

$$\begin{cases} (a+1)+(a^2-1)>0,\\4(a+1)+(a^2-1)>0, \end{cases}$$ 解得$a>0\lor a<-3$．