每日一题[395]以静制动

2016年北京西城高三期末数学理第8题（选择压轴题）：

如图，正方形$ABCD$的边长为$6$，点$E,F$分别在边$AD,BC$上，且$DE=2EA$，$CF=2FB$，如果对于常数$\lambda$，在正方形$ABCD$的四条边上，有且只有$6$个不同的点$P$，使得$\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}=\lambda$成立，那么$\lambda$的取值范围是_____．

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正确答案是$(0,4)$．

解　我们知道(极化恒等式)

$$\left(\overrightarrow {PE}+\overrightarrow {PF}\right )^2-\left(\overrightarrow {PE}-\overrightarrow {PF}\right )^2=4\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}.$$ 记$EF$的中点为$M$，则 $$\overrightarrow {PE}+\overrightarrow {PF}=2\overrightarrow {PM},$$ 结合以上两式知 $$\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}=\overrightarrow {PM}\cdot\overrightarrow {PM}-9.$$ 法一　题意即满足 $$|PM|=\sqrt{9+\lambda}$$ 的点$P$有六个，即以$M$为圆心，$\sqrt{9+\lambda }$为半径作圆，与正方形的四边恰有六个公共点，如图：

结合图象知

$$|PM|^2=9+\lambda \in(9,13),$$ 解得$\lambda\in(0,4)$．

法二　记$\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}=\lambda$，当$P$点在正方形的边上连续运动时，$\lambda$连续变化，所以如果对变化中几个特别的点：端点与极值点求出具体的值来，就可以通过这些值确定各条线段上$\lambda$的取值范围．

例如，当点$P$从$E$运动到$D$时，$\lambda$的值从$0$连续增长到$16$；类似地可以得出，当点$P$在$EA$、$FB$、$FC$上运动时$\lambda$的变化都是从小到大的；

当点$P$从$D$点运动到$C$点时，这个值先减小再增大，当点$P$在$CD$的中点处时，$\lambda$取到极小值$7$，同理当点$P$在$AB$的中点处时，$\lambda$也取到极小值$-5$；将这些端点与极值点处的值标在正方形上，如下图：

再将这八段$\lambda$的取值范围标在数轴上，很容易得到$\lambda \in(0,4)$时满足题目要求，如下图（注意端点处需要单独讨论）：

更多相关问题见每日一题[113]平面向量的积化和差．

最后给出一道练习题．

如图，在等腰梯形$ABCD$中，$AB=2$，$CD=4$，$BC=\sqrt 5$，点$E,F$分别为$AD,BC$的中点．如果对于常数$\lambda$，在等腰梯形$ABCD$的四条边上，有且只有$8$个不同的点$P$使得$\overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{PF}=\lambda$成立，那么$\lambda$的取值范围是_______．

答案是$\left(-\dfrac{9}{20},-\dfrac 14\right)$．

提示    应用极化恒等式，如图．