每日一题[396]体积转化

如图,在三棱锥$O-ABC$中,三条棱$OA,OB,OC$两两垂直,且$OA>OB>OC$,分别经过三条棱$OA,OB,OC$作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为$S_1,S_2,S_3$,则$S_1,S_2,S_3$的大小关系为_____.

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正确答案是$S_3<S_2<S_1$.

 三棱锥通常都可以放入长方体中进行分析,因为三棱锥的三条棱两两垂直,所以可以直接放入以$OA,OB,OC$为同顶点的三条棱的长方体中.

先分析过棱$OA$的截面,此截面要平分三棱锥的体积,故它与平面$OBC$的交线平分$\triangle OBC$的面积,所以它就是长方体中包含$OA$的对角面$OAEF$在三棱锥内的部分,如下图,它的面积为此对角面$OAEF$面积的$\dfrac 14$.

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故比较长方体的三个对角面面积即可,设$$OA=a,OB=b,OC=c,$$则包含$OA$的对角面的面积为$$4S_1=a\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{a^2b^2+a^2c^2},$$同理有$$\begin{split} 4S_2&=b\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{a^2b^2+b^2c^2},\\4S_3&=c\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2c^2+b^2c^2},\end{split} $$因为$a>b>c$,所以有$S_1>S_2>S_3$.

 本题为$2010$年高考数学江西卷理科第16题(填空压轴题),在解题过程中完全可以直接给$OA,OB,OC$进行赋值,比如$3,2,1$之后比较.

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