每日一题[400]五仁月饼

下面这个连环解析几何试题是我偶然从一个QQ讨论群中得到的题目,是训练解析几何解题能力的绝佳练习材料.解决这些问题无需花哨的技巧,只需要潜心运算,可以在提高解题能力的同时修身养性,达到一举两得的效果.

已知椭圆E:x22+y2=1

A2为椭圆的右顶点.

1、过A2且互相垂直的两条直线分别交椭圆E于另两点A,B,直线AB是否过定点?请说明理由.

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设直线l:x=2F为椭圆的右焦点,过F的直线交椭圆EP,Q

2、设G为直线l上的任意一点,直线PG,FG,QG的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k1,k2,k3成等差数列.

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3、设A1是椭圆的左顶点,直线A1P,A1Q分别与直线l交于点M,N,求证:直线FM和直线FN的斜率之积为定值.

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4、设H(2,7)为直线l上一点,若向量HP与向量HQ的夹角为45,求直线PQ的斜率.

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A3为椭圆的上顶点.

5、圆I:(x23)2+y2=r2是椭圆E的内接三角形A1B1C1的内切圆,过A3作圆I的两条切线分别交椭圆于B3C3.求r的值并证明直线B3C3与圆I相切.

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参考答案

1、设直线A2A的方程为x=my+2A(x1,y1)B(x2,y2),直线ABx轴于点T(t,0)

联立直线A2A与椭圆E的方程,可得(m2+2)y2+22my=0,于是y1=22mm2+2,类似地,可得y2=22m2m2+1.

于是由y10x1t=y20x2t可得t=x1y2x2y1y2y1=(my1+2)y2(1my2+2)y1y2y1=(m+1m)y1y2y2y1+2=23为定值,因此直线AB恒过定点(23,0)


(第2、3、4题)设直线PQ:x=my+1P(x1,y1)Q(x2,y2),则联立直线PQ与椭圆E的方程,有(m2+2)y2+2my1=0,于是y1+y2=2mm2+2,y1y2=1m2+2.

2、设G(2,t),则欲证明结论等价于ty12x1+ty22x2=2t,(ty1)(1my2)+(ty2)(1my1)=2t(1my1)(1my2),也即(tm1)[(y1+y2)2my1y2]=0.事实上,由y1+y2=2mm2+2,y1y2=1m2+2,可得(y1+y2)2my1y2=0,因此原命题得证.

3、设点MN的纵坐标为yMyN,则由yM2+2=y1x1+2,可得yM=(2+2)y1x1+2=(2+2)y1my1+1+2,类似地,有yN=(2+2)y2my2+1+2.

因此可得直线FM与直线FN的斜率之积kFMkFN=yM021yN021=(2+2)2y1y2(my1+1+2)(my2+1+2)=(2+2)2y1y2m2y1y2+(1+2)m(y1+y2)+(1+2)2=1为定值,原命题得证.

4、本题的背景为一般结论为从准线上一点看椭圆的张角θ满足tanθ=2e(1e2)1+m2,依此结论不难得到m的值应该为7

方法一    利用到角公式直接计算

根据题意,有|y17my11y27my211+y17my11y27my21|=1,[(my11)(my21)+(y17)(y27)]2=[(my11)(y27)(my21)(y17)]2,整理得(9m2+27m+15)2=8(m2+1)(7m227m+1),t=m+7,则可整理得t2(25t2487t+192)=0,因此m的值为7,直线PQ的斜率为77

方法二    利用到角公式结合第2小题结论计算

设直线HP,HQ的斜率分别为k1,k2,则根据题意有|k1k21+k1k2|=1,(k1+k2)24k1k2=(k1k2+1)2,根据第2小题结论有k1+k2=27,由以上两方程可得(k1k2)2+6k1k227=0,从而k1k2=3k1k2=9,显然k1,k2>0,因此k1k2=3

设过点H的直线方程为y7=k(x2),则根据等效判别式,可得该直线与椭圆E相切即2k2+1(2k+7)2=0,k227k+3=0.因此k1,k2是该方程的两个根,也即直线HP,HQ均为椭圆的切线,而直线PQ为点H对应的极线x+7y=1,因此直线PQ的斜率为77


5、设直线A1C1,B1C1上的切点分别为J,K,连接IJ,如图.由对称性知B1C1x轴垂直.

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C1(n+r,y),其中n=23,则由IJA1J=C1KA1Kr(2+n)2r2=y2+n+r,所以y=r(2+n)+r(2+n)r,又由(n+r)22+y2=1,y=2(n+r)2+(n+r)2,由以上两式得r(2+n)r=(2n)r2,整理得r2+22r2+n2=0,于是解得r=23

设圆I的过点A3的切线为y=kx+1,即kxy+1=0,A3B3,A3C3的斜率k1,k2是方程|23k+1|1+k2=23,2k2+12k+7=0的根,于是k1+k2=6,k1k2=72.

两切线方程为(yk1x1)(yk2x1)=0,(y1)2x(y1)(k1+k2)+k1k2x2=0,也即72x2=(y1)(y1+6x).

将椭圆方程变形为x22=(y1)(y+1),将以上两式联立(即相除)得直线B3C3的方程7=y1+6xy+1,3x3y4=0,因此圆心I(23,0)到直线B3C3的距离d=|3×234|32+(3)2=23,与半径r相等,因此直线B3C3与圆I相切,命题得证.

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每日一题[400]五仁月饼》有2条回应

  1. Lethe说:

    等效判别式是?

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