下面这个连环解析几何试题是我偶然从一个QQ讨论群中得到的题目,是训练解析几何解题能力的绝佳练习材料.解决这些问题无需花哨的技巧,只需要潜心运算,可以在提高解题能力的同时修身养性,达到一举两得的效果.
已知椭圆E:x22+y2=1.
设A2为椭圆的右顶点.
1、过A2且互相垂直的两条直线分别交椭圆E于另两点A,B,直线AB是否过定点?请说明理由.
设直线l:x=2,F为椭圆的右焦点,过F的直线交椭圆E于P,Q.
2、设G为直线l上的任意一点,直线PG,FG,QG的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k1,k2,k3成等差数列.
3、设A1是椭圆的左顶点,直线A1P,A1Q分别与直线l交于点M,N,求证:直线FM和直线FN的斜率之积为定值.
4、设H(2,√7)为直线l上一点,若向量→HP与向量→HQ的夹角为45∘,求直线PQ的斜率.
设A3为椭圆的上顶点.
5、圆I:(x−23)2+y2=r2是椭圆E的内接三角形A1B1C1的内切圆,过A3作圆I的两条切线分别交椭圆于B3C3.求r的值并证明直线B3C3与圆I相切.
参考答案
1、设直线A2A的方程为x=my+√2,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB交x轴于点T(t,0).
联立直线A2A与椭圆E的方程,可得(m2+2)y2+2√2my=0,于是y1=−2√2mm2+2,类似地,可得y2=2√2m2m2+1.
于是由y1−0x1−t=y2−0x2−t可得t=x1y2−x2y1y2−y1=(my1+√2)y2−(−1my2+√2)y1y2−y1=(m+1m)⋅y1y2y2−y1+√2=√23为定值,因此直线AB恒过定点(√23,0).
(第2、3、4题)设直线PQ:x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),则联立直线PQ与椭圆E的方程,有(m2+2)y2+2my−1=0,于是y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2.
2、设G(2,t),则欲证明结论等价于t−y12−x1+t−y22−x2=2t,即(t−y1)(1−my2)+(t−y2)(1−my1)=2t(1−my1)(1−my2),也即(tm−1)[(y1+y2)−2m⋅y1y2]=0.事实上,由y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2,可得(y1+y2)−2m⋅y1y2=0,因此原命题得证.
3、设点M、N的纵坐标为yM、yN,则由yM2+√2=y1x1+√2,可得yM=(2+√2)y1x1+√2=(2+√2)y1my1+1+√2,类似地,有yN=(2+√2)y2my2+1+√2.
因此可得直线FM与直线FN的斜率之积kFM⋅kFN=yM−02−1⋅yN−02−1=(2+√2)2y1y2(my1+1+√2)(my2+1+√2)=(2+√2)2⋅y1y2m2y1y2+(1+√2)m⋅(y1+y2)+(1+√2)2=−1为定值,原命题得证.
4、本题的背景为一般结论为从准线上一点看椭圆的张角θ满足tanθ=2e(1−e2)√1+m2,依此结论不难得到m的值应该为−√7.
方法一 利用到角公式直接计算
根据题意,有|y1−√7my1−1−y2−√7my2−11+y1−√7my1−1⋅y2−√7my2−1|=1,即[(my1−1)(my2−1)+(y1−√7)(y2−√7)]2=[(my1−1)(y2−√7)−(my2−1)(y1−√7)]2,整理得(9m2+2√7m+15)2=8(m2+1)(7m2−2√7m+1),令t=m+√7,则可整理得t2(25t2−48√7t+192)=0,因此m的值为−√7,直线PQ的斜率为−√77.
方法二 利用到角公式结合第2小题结论计算
设直线HP,HQ的斜率分别为k1,k2,则根据题意有|k1−k21+k1k2|=1,即(k1+k2)2−4k1k2=(k1k2+1)2,根据第2小题结论有k1+k2=2√7,由以上两方程可得(k1k2)2+6⋅k1k2−27=0,从而k1k2=3∨k1k2=−9,显然k1,k2>0,因此k1k2=3.
设过点H的直线方程为y−√7=k(x−2),则根据等效判别式,可得该直线与椭圆E相切即2k2+1−(−2k+√7)2=0,即k2−2√7k+3=0.因此k1,k2是该方程的两个根,也即直线HP,HQ均为椭圆的切线,而直线PQ为点H对应的极线x+√7y=1,因此直线PQ的斜率为−√77.
5、设直线A1C1,B1C1上的切点分别为J,K,连接IJ,如图.由对称性知B1C1与x轴垂直.
设C1(n+r,y),其中n=23,则由IJA1J=C1KA1K得r√(√2+n)2−r2=y√2+n+r,所以y=r⋅√(√2+n)+r√(√2+n)−r,又由(n+r)22+y2=1,得y=√√2−(n+r)⋅√√2+(n+r)√2,由以上两式得r√(√2+n)−r=√(√2−n)−r√2,整理得r2+2√2r−2+n2=0,于是解得r=√23.
设圆I的过点A3的切线为y=kx+1,即kx−y+1=0,则A3B3,A3C3的斜率k1,k2是方程|23k+1|√1+k2=√23,即2k2+12k+7=0的根,于是k1+k2=−6,k1k2=72.
两切线方程为(y−k1x−1)(y−k2x−1)=0,即(y−1)2−x(y−1)(k1+k2)+k1k2x2=0,也即−72x2=(y−1)(y−1+6x).
将椭圆方程变形为−x22=(y−1)(y+1),将以上两式联立(即相除)得直线B3C3的方程7=y−1+6xy+1,即3x−3y−4=0,因此圆心I(23,0)到直线B3C3的距离d=|3×23−4|√32+(−3)2=√23,与半径r相等,因此直线B3C3与圆I相切,命题得证.
等效判别式是?
判别直线与圆锥曲线位置关系的代数式,对于椭圆有Δ0=a2A2+b2B2−C2.