每日一题[380]纸老虎

编者按　本文作者我爱数学，由meiyun编辑，有较大改动．

若$\alpha,\beta,\gamma$是任意实数，求

$$\sqrt{|\sin\alpha-\sin\beta|}+\sqrt{|\sin\beta-\sin\gamma|}+\sqrt{|\sin\gamma-\sin\alpha|}$$ 的最大值．

---

正确答案是$2+\sqrt 2$．

分析　刚看到这个题容易被它的外表唬住，这个题中除了有三个字母外，中学数学中比较难缠的绝对值与根号赶集似地出现在这道题中，但仔细分析这个题，会发现这只是一只“纸老虎”．

解　记

$$a=\sin\alpha,b=\sin\beta,c=\sin\gamma,$$ 由所求代数式的对称结构知，不妨设$a\geqslant b\geqslant c$，题目转化为：

已知$1\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant -1$，求

$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$ 的最大值，可以从两个角度考虑这个问题：

法一　在数轴上标出$a,b,c$，如下：

任意选定一点$b$，我们知道$a,c$离$b$越远越好，故$a=1,c=-1$时，所求代数式有最大值

$$\sqrt 2+\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1},$$ 再考虑$b$为何值时，$\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1}$最大．

不管是平方还是均值都可以得到当$b=0$时，$\sqrt{1-b}+\sqrt{b+1}$取到最大值$2$，从而

$$\sqrt{a-b}+\sqrt{b-c}+\sqrt{a-c}$$ 有最大值$2+\sqrt 2$，即为所求代数式的最大值．

法二　令

$$x=\sqrt{a-b},y=\sqrt{b-c},z=\sqrt{a-c},$$ 则有 $$x^2+y^2=z^2,x,y,z\in[0,\sqrt 2],$$ 求$x+y+z$的最大值．

可以令

$$x=z\cos\theta,y=z\sin\theta,\theta\in\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right ],$$ 于是 $$\begin{split} x+y+z&=z(\cos\theta+\sin\theta+1)\\&=z\left[\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac {\pi}{4}\right )+1\right ]\\&\leqslant (\sqrt 2+1)z\\&\leqslant 2+\sqrt 2.\end{split}$$ 当且仅当$z=\sqrt 2,x=y=1$时取到等号．

也可以由

$$x+y\leqslant \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt 2z$$ 得到以上结果．