每日一题[362]巧变形，妙转化

设$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$是一组不为零的实数．证明：关于$x$的方程$\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n$至多有两个实根．

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分析　观察方程，可知$x=0$是方程的一个根，只需证明此方程除$0$之外至多还有一个根．观察方程发现左边含有$n$个根号，右边是$n$，当$x=0$时，每个根式的值都为$1$，故将$n$看作$n$个$1$相加，并移到等号左边，进行分子有理化处理，即可找到解题思路．

解　方程$\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n$可整理为

$$\left(\sqrt {1+a_1x}-1\right)+\left(\sqrt{1+a_2x}-1\right)+\cdots+\left(\sqrt{1+a_nx}-1\right)=0,$$ 对式子$\left(\sqrt {1+a_ix}-1\right)(i=1,2,3,\cdots,n)$分子有理化，可得 $$\dfrac{a_1x}{\sqrt{1+a_1x}+1}+\dfrac{a_2x}{\sqrt{1+a_2x}+1}+\cdots+\dfrac{a_nx}{\sqrt{1+a_nx}+1}=0,$$ 即 $$x\left(\dfrac{a_1}{\sqrt{1+a_1x}+1}+\dfrac{a_2}{\sqrt{1+a_2x}+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{\sqrt{1+a_nx}+1}\right)=0,$$ 下面来证明方程 $$\dfrac{a_1}{\sqrt{1+a_1x}+1}+\dfrac{a_2}{\sqrt{1+a_2x}+1}+\cdots+\dfrac{a_n}{\sqrt{1+a_nx}+1}=0$$ 至多有一个实根，令$f_i(x)=\dfrac{a_i}{\sqrt{1+a_ix}+1}(i=1,2,3,\cdots,n)$，则 $$f_i'(x)=-\dfrac{\frac{a_i^2}{2\sqrt{1+a_ix}}}{\left(\sqrt{1+a_ix}+1\right)^2}<0,$$ 所以$f_i(x)$在定义域内单调递减（事实上根据复合函数也可以得到单调性），故 $$g(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots+f_n(x)$$ 在定义域内单调递减，因此$g(x)$ 至多有一个零点，命题得证．