每日一题[358]分段递推数列与冰雹猜想

已知数列$\{a_n\}$的各项均为正整数，对于$n=1,2,3,\cdots$，有 $$a_{n+1}=\begin{cases} 3a_n+5,2\nmid a_n,\\\dfrac {a_n}{2^k},2^k||a_n,\end{cases}$$ 其中$k$为正整数，$2^k||a_n$表示$2^k|a_n$且$2^{k+1}\nmid a_n$．

（1）当$a_1=11$时，$a_{100}=$____；

（2）若存在$m\in\mathcal{N}^*$，当$n>m$且$a_n$为奇数时，$a_n$恒为常数$p$，则$p$的值为_____．

正确答案是：$62$；$1$或$5$．

解　由数列的递推公式知，若$a_n$为奇数，$a_{n+1}$一定是偶数；而当$a_n$为偶数，$a_{n+1}$一定为奇数，即数列$\{a_n\}$是奇数与偶数交替的数列．

对于第（1）小题，我们尝试往下写几项： $$11,38,19,62,31,98,49,152,19,62,\cdots.$$ 所有以$a_9=a_3,a_{10}=a_4$，从而从第三项起数列$\{a_n\}$是周期为$6$的数列，从而有 $$a_{100}=a_{6\times 16+4}=a_4=62.$$

（2）由题意知，$a_n=p$时，$a_{n+1}=3p+5$为偶数，从而有 $$a_{n+2}=\dfrac {3p+5}{2^k}=p.$$ 即 $$p(2^k-3)=5,k\in\mathcal{N}^*,$$ 而$p>0$，故$p=1$或$p=5$， 分别对应$k=3$与$k=2$，故$p=1,5$都满足条件，数列从某项起的各项值分别为$1,8,1,8,\cdots$或$5,20,5,20,\cdots$．

注　本题为$2011$年北京市西城区高考一模理科第14题（选择压轴题）．

下面给出一道练习（2009年高考数学湖北卷第15题）：

若数列$\{a_n\}$满足$a_1=m$（$m$为正整数），$a_{n+1}=\begin{cases} \dfrac {a_n}{2},2|a_n,\\3a_n+1,2\nmid a_n. \end{cases}$若$a_6=1$，则$m$的所有可能的取值为_____．

答案　$4,5,32$．

与分段递推数列相关的问题中最出名的是冰雹猜想（又称为角谷猜想），它的内容是：

任意写出一个正整数$N$，并且按照以下规律进行变换：

如果是个奇数，则下一步变成它的三倍加上一；

如果是个偶数，则下一步变成它的一半；

一直继续下去，那么无论$N$是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底$1$的命运．

这个数列就是练习中的递推公式给出的数列．据说这个游戏在上个世纪七十年代中期风靡美国各所名牌大学的校园，目前这个猜想既无人能证明，也没有找到反例．

更多相关问题见每日一题[340]周期数列．