每日一题[361]你没有衣服穿，那我脱一件给你

已知函数$f(x)=\left \lvert x^2-ax \right \rvert -2$，且函数$f(x+2)$是偶函数．

（1）求实数$a$的值；

（2）设函数$y=g(x)$，集合$M=\{x|g(x)-x=0\},N=\{x|g(g(x))-x=0\}$．

① 证明$M\subseteq N$；

② 如果$g(x)=f(\lvert x \rvert )$，集合$P=\{x|g(g(x))-x=0\land \lvert x \rvert \leqslant 2 \}$，那么集合$P$中的元素个数为_______．

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正确答案是（1）$a=4$；（2）①略；②$5$．

解　直接看(2)的②，直接求解方程$g(g(x))=x$显然不明智，如果考虑数形结合，那么函数$g(g(x))$的图象也并不好画．难点主要在于

$$g(g(x))=x$$ 这个式子的左边“穿的衣服”有点多，跟式子的右边形成了鲜明的对比．不患寡而患不均啊！能否脱掉左边的一件衣服给右边穿呢？我们先来证明一个引理：

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方程$g(g(x))=x$的根为曲线$y=g(x)$与曲线$x=g(y)$（这两条曲线关于直线$y=x$对称）的交点的横坐标．

证明　一方面，设$a$是方程$g(g(x))=x$的一个根，即$g(g(a))=a$．

设$g(a)=b$，则$g(b)=g(g(a))=a$，故点$(a,b)$既在曲线$y=g(x)$上，又在曲线$x=g(y)$上，所以$a$是曲线$y=g(x)$与曲线$x=g(y)$的交点的横坐标．

另一方面，设曲线$y=g(x)$与曲线$x=g(y)$的一个交点为$(a,b)$，则$g(a)=b$，且$g(b)=a$．

故$g(g(a))=g(b)=a$，所以$a$是方程$g(g(x))=x$的一个根．

证毕．

注意    方程$g(g(x))=x$的根有可能不存在，对应的，曲线$y=g(x)$与曲线$x=g(y)$的交点也有可能不存在．

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下面我们用这个引理来解决此题：作出曲线$y=g(x)$（红色实线）与曲线$x=g(y)$（蓝色实线），这两条曲线关于直线$y=x$（青色虚线）对称，如下图所示．

从图中可以看到，红色实线与蓝色实线共有$A,B,C,D,E$这$5$个交点，所以集合$P$中的元素个数为$5$．