每日一题[351]保三角形函数

如果对于任意一个三角形，只要它的三边长$a,b,c$都在函数$f(x)$的定义域内，就有$f(a),f(b),f(c)$也是某个三角形的三边长，则称$f(x)$为“保三角形函数”．

①$f(x)=\sqrt x$；②$g(x)=\sin x,x\in(0,\pi)$；③$h(x)=\ln x,x\in[2,+\infty)$．

是“保三角形函数”的序号为_____．

正确答案是①③．

解　直接考虑$a,b,c$是否构成三角形的三边长需要考虑$|a-b|<c<a+b$，该不等式作为条件不好利用，作为结论也难以研究．

但若观察到①③均为单调函数，考虑给$a,b,c$加上序关系$a\leqslant b\leqslant c$，则条件变成$a+b>c$，结论变为$f(a)+f(b)>f(c)$：

对于①，用分析法：要证明$\sqrt a+\sqrt b>\sqrt c$，只需要证明$a+b+2\sqrt{ab}>c$，而$a+b>c$显然可以保证这个条件成立，故①符合题意；

对于③，用分析法：要证明$\ln a+\ln b>\ln c$，只需要证明$ab>c$，而$b\geqslant a\geqslant 2$，故$(a-1)(b-1)\geqslant 1$，从而$ab\geqslant a+b>c$，故③符号题意．

最后考虑②，$y=\sin x$不是单调函数，考虑到$y=\sin x$在$\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$上与$y=\sqrt x$类似，因而猜测它在$\left[\dfrac {\pi}{2},\pi\right )$这段上会出问题，接下来尝试构造反例：

设$\dfrac {\pi}{2}\leqslant a\leqslant b\leqslant c<\pi$，此时$f(a)\geqslant f(b)\geqslant f(c)$，需要考查$f(b)+f(c)\geqslant f(a)$是否成立．

为了破坏$f(b)+f(c)\geqslant f(a)$，应该使得$f(a)$尽量大，因此取$a=\dfrac {\pi}{2}$，此时$f(a)=1$，然后使$f(b),f(c)$尽量小，因此取$b=c\rightarrow \pi$，显然$f(b)+f(c)\geqslant f(a)$不能恒成立，于是②不符合题意．

反例的构造常常考虑极端的情况，更多相关问题见每日一题[65] 利用极端原理构造．