每日一题[352]“定比点差法”证定点问题

已知椭圆$\dfrac {x^2}{4}+\dfrac {y^2}{3}=1$，点$P(4,0)$，过点$P$作椭圆的割线$PAB$，$C$为$B$关于$x$轴的对称点．求证：直线$AC$恒过定点．

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解　因为$A,B,P$三点共线，$A,C,M$三点也共线，且$A,B,C$三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．

设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$C(x_2,-y_2)$，设$AC$与$x$轴的交点为$M(m,0)$，$\overrightarrow {AP}=\lambda \overrightarrow {PB}$，$\overrightarrow {AM}=\mu\overrightarrow {MC}$，则

$$P\left(\dfrac {x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },\dfrac {y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\right ),M\left(\dfrac {x_1+\mu x_2}{1+\mu },\dfrac {y_1-\mu y_2}{1+\mu}\right ).$$ 于是有 $$\begin{split}\begin{eqnarray}  x_1+\lambda x_2=4(1+\lambda ),y_1+\lambda y_2=0;\\x_1+\mu x_2=m(1+\mu),y_1-\mu y_2=0.\end{eqnarray} \end{split}$$ 由点$A，B$在椭圆上得 $$\begin{cases} \dfrac {x_1^2}{4}+\dfrac {y_1^2}{3}=1,\\\dfrac {\mu^2x_2^2}{4}+\dfrac {\mu^2y_2^2}{3}=\mu^2.\end{cases}$$ 两式相减得 $$\begin{eqnarray} \dfrac {(x_1+\mu x_2)(x_1-\mu x_2)}{4}+\dfrac {(y_1+\mu y_2)(y_1-\mu y_2)}{3}=1-\mu ^2.\end{eqnarray}$$ 将(2)代入(3)得 $$\begin{eqnarray} x_1-\mu x_2=\dfrac {4(1-\mu)}{m}.\end{eqnarray}$$ 由(1)(2)得$\mu=-\lambda$，代入(4)得 $$x_1+\lambda x_2=\dfrac {4(1+\lambda )}{m}.$$ 与(1)对比得$m=1$，即直线$AC$恒过定点$(1,0)$．

定比点差法处理有心二心曲线的三点共线问题非常有效，更多相关问题见每日一题[327]定比点差法，每日一题[181]定比点差法．详细的定比点差法介绍见[方法技巧]点比定差法．