每日一题[341]充分条件与必要条件

2015年高考数学福建文科第12题（选择压轴题）：

“对任意$x\in\left(0,\dfrac{\pi} 2\right)$，$k\sin x\cos x<x$”是“$k<1$”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

正确答案是 B．

解　记$p:\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi} 2\right),k\sin x\cos x<x$，$q:k<1$，则$p$等价于 $$\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),k\sin 2x<2x,$$ 我们熟知对任意$x>0$，均有$\sin x<x$，因此$k=1$符合条件，但此时并不满足$k<1$，因此$p$是$q$的不充分条件；

而另一方面，若$k<1$，则$\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),k\sin 2x<\sin 2x<2x$，因此$p$是$q$的必要条件；

综上，$p$是$q$的必要不充分条件．

在学习三角函数时，我们可以通过三角函数线的长度与相关面积的大小得到不等式 $$\forall x\in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right ),\sin x<x<\tan x.$$ 在学习导函数之后，我们可以利用导函数作为研究函数的工具得到上面的不等式，并且有一个重要极限 $$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1,$$ 这个极限在很多地方都有体现．我们可以思考下面的问题：

“对任意$x\in\left(0,\dfrac{\pi} 2\right)$，$k\sin x\cos x<x$”是“$k\leqslant 1$”的____ 条件．

答案　充分必要条件．

分析　必要性的证明与前面相同，只需要说明充分性，由前面的分析知，只需要证明 $$\forall x\in(0,\pi),k\sin x-x<0\Rightarrow k\leqslant 1.$$

设$f(x)=k\sin x-x,x\in(0,\pi)$，用反证法考虑：：

若$k>1$，则$f(x)$的导函数 $$f'(x)=k\cos x-1$$ 的值在$\left(0,\arccos\dfrac 1k\right )$上大于零，于是$f(x)$在此区间上单调递增，于是此时有$f(x)>f(0)=0$，矛盾．

故假设不成立，即$k\leqslant 1$，充分性得证．