构造直角三角形解决几何问题

如图,\(EFGH\)是正方形\(ABCD\)的内接四边形,\(\angle BEG\)与\(\angle CFH\)都是锐角,已知\(EG=3\),\(FH=4\),四边形\(EFGH\)的面积为\(5\),求正方形\(ABCD\)的面积.

QQ截图20151218134348

分析
 由已知可得\[S_{正方形ABCD}=S_{\triangle AEH}+S_{\triangle EBF}+S_{\triangle FGC}+S_{\triangle GHD}+S_{四边形EFGH}.\]QQ截图20151221102155再将已知中的\(EG\),\(FH\)利用起来,放在直角三角形中,也可得\[S_{\triangle DGH}=S_{\triangle MHG}=\dfrac 12S_{矩形DHMG}.\]QQ截图20151218134414从而\[\begin{split}S_{正方形ABCD} & =2S_{\triangle EHQ}+2S_{\triangle HPG}+2S_{\triangle GNF}+2S_{\triangle EMF}+S_{矩形MNPQ}\\ &=2S_{四边形HEFG}-S_{矩形MNPQ}.\end{split}\]


解析 设\(AD=a\),\(MN=b\),\(NP=c\), QQ截图20151218162131根据题意可得\[b=\sqrt{9-a^2},c=\sqrt{16-a^2}.\]因为\(S_{四边形MNPQ}+S_{正方形ABCD}=2S_{四边形EFGH}\),
所以\[bc+a^2=10,\] 即\[\sqrt{9-a^2} \cdot \sqrt{16-a^2}+a^2=10,\] 
解得\(a^2=\dfrac{44}{5}\), 
所以正方形\(ABCD\)的面积为\(\dfrac{44}{5}\).

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