每日一题[340]周期数列

若数列$\{a_n\}$满足：存在正整数$T$，对于任意正整数$n$都有$a_{n+T}=a_n$成立，则称数列$\{a_n\}$为周期数列，周期为$T$．已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=m(m>0)$，$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-1,&a_n>1,\\\dfrac {1}{a_n},&0<a_n\leqslant 1.\end{cases}$则下列结论中错误的是（　　）

A．若$a_3=4$，则$m$可取$3$个不同的值

B．若$m=\sqrt 2$，则数列$\{a_n\}$是周期为$3$的数列

C．$\forall T\in\mathcal{N}^*$且$T\geqslant 2$，存在$m>1$，使得$\{a_n\}$是周期为$T$的数列

D．$\exists m\in\mathcal{Q}$且$m\geqslant 2$，使得数列$\{a_n\}$是周期数列

正确答案是 D．

解　对于 A，有$a_2=5,\dfrac 14$，从而$a_1=m=6,\dfrac 15,\dfrac 54$，A 正确；

对于 B，数列$\{a_n\}$为 $$\sqrt 2,\sqrt 2-1,\sqrt 2+1,\sqrt 2,\sqrt 2-1,\cdots,$$ 于是数列$\{a_n\}$的周期为$3$，正确；

对于 C，D，先考虑数列$\{a_n\}$的周期性：

如果$a_1=k+\alpha ,k\in \mathcal N,0< \alpha \leqslant 1$，则 $$\begin{split} &a_2=k-1+\alpha ,\\&a_3=k-2+\alpha,\\&\cdots,\\&a_{k+1}=\alpha.\end{split}$$ 要使得数列$\{a_n\}$有周期性，只需要 $$a_{k+2}=\dfrac{1}{\alpha }=a_1=k+\alpha ,$$ 因为方程$\dfrac {1}{\alpha}=k+\alpha$即 $$\alpha ^2+k\alpha -1=0$$ 的正解 $$\alpha =\dfrac {-k+\sqrt{k^2+4}}{2}\in(0,1],$$ 故$\alpha$一定存在，从而存在$m=k+\alpha$，使得数列$\{a_n\}$的周期为$k+1$．

于是对于 C，为了使得数列的周期为$T$，只需要取 $$k=T-1\geqslant 1，\alpha =\dfrac {-k+\sqrt{k^2+4}}{2}$$ 即可，此时$m>1$，C 正确；

对于 D，假设存在符合要求的$m$，那么数列中每一项均为有理数，设$a_n$的最简分数形式为$a_n=\dfrac{p_n}{q_n}$，其中$n\in\mathcal N^*$．显然若存在$q_k=1$，那么数列$\{a_n\}$必然不为周期数列，因此数列中每一项的分母均不小于$2$．考虑到当出现某一项为上一项的倒数时，其分母必然减小，因此经过足够长的有限次运算后，必然存在某个$q_N=1$，矛盾．因此不存在符合要求的$m$．

注　本题为2013年北京市海淀区高考二模选择压轴题．