每日一题[336]最大值的最小值

2015年高考数学湖北文科第17题（填空压轴题）：

$a$为实数，函数$f\left(x\right)={\left|{x^2-ax}\right|}$在区间$\left[0,1\right]$上的最大值记为$g\left(a\right)$．当$a=$_____时，$g\left(a\right)$的值最小．

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正确答案是$2\sqrt 2-2$．

解　易知函数$f(x)=|x^2-ax|$在$x=\dfrac a2$取得极大值．

当$\dfrac a2\in [0,1]$时，$g(a)$为$f(0)$，$f(1)$与$f\left(\dfrac a2\right)$中的最大数，也即

$$g(a)=\max\left\{\dfrac{a^2}4,|1-a|\right\},a\in[0,2];$$ 当$\dfrac a2\notin [0,1]$时，$g(a)$为$f(0)$,$f(1)$中的最大数，也即 $$g(a)=|1-a|,a\in (-\infty ,0)\cup (2,+\infty ).$$

如图，计算函数$y=|1-a|$与函数$y=\dfrac{a^2}4$图象的交点可得$a=2\sqrt 2-2$(舍去左侧交点)．

因此当$a=2\sqrt 2-2$时，$g(a)$的值最小．

高中数学中，很多探索最大值的最小值（或最小值的最大值）的问题，其中前一个最值是一个以参数为自变量的函数，后一个最值是这个函数的最值．解题的关键是求出含参函数的最值，通常需要分类讨论，再结合这个关于参数的函数的图象求出最值．

本题中，我们也可以从整体上看看当$a$变化时，$g(a)$的变化情况：

当$a$从负无穷变大时，$f(x)$在$[0,1]$上的最大值开始为

$$f(1)=|1-a|,$$ 其中$|1-a|$随着$a$的增大而减小；当$a$越过$0$时，开始有$\dfrac a2\in[0,1]$，但最大值仍然在$x=1$处取到，而且这个值逐渐减小，而函数值$f\left(\dfrac a2\right )=\dfrac {a^2}{4}$的值逐渐增加，到某个时刻会有 $$f\left(\dfrac a2\right )=f(1),$$ 再之后$f\left(\dfrac a2\right )$的值成为最大值，并且一直增加，所以$g(a)$又会越来越大．所以，这个临界情况就是所求的最小值，如下图：