每日一题[335]善挖线索巧构函数

设函数$f(x)$在$\mathcal{R}$上存在导数$f'(x)$，对任意$x\in\mathcal{R}$，有$f(-x)+f(x)=x^2$，且在$(0,+\infty)$上$f'(x)>x$．若$f(2-a)-f(a)\geqslant 2-2a$，则实数$a$的取值范围为_____．

正确答案是$(-\infty,1]$．

解　由题意知 $$\forall x>0,f'(x)-x>0,$$ 于是构造函数 $$g(x)=f(x)-\dfrac 12x^2,$$ 由$g'(x)>0$知$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增．

又由条件$f(-x)+f(x)=x^2$知 $$g(-x)+g(x)=0,$$ 即$g(x)$为奇函数．

因为$f(x)$在$\mathcal{R}$上存在导函数，所以$g(x)$也在$\mathcal{R}$上存在导函数，所以$g(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增．（注：定义在$\mathcal{R}$上的奇函数在$(0,+\infty)$上单调递增，得不到它在$\mathcal{R}$上单调递增．你能举出反例吗？）

由$f(2-a)-f(a)\geqslant 2-2a$知 $$g(2-a)\geqslant g(a),$$ 从而有 $$2-a\geqslant a,$$ 解得$a\leqslant 1$．

导函数的正负可以得到原函数的单调性，遇到与导数相关的不等式，首先去看它在提示哪个函数的单调性（这就是题目给的线索），再去构造相应的函数，一切便迎刃而解．

下面给出一道练习：

2015高考数学福建理科第10题（选择压轴题）：若定义在$\mathcal R$上的函数$f\left(x\right)$满足$f\left(0\right)=-1$，其导函数$f'\left(x\right)$满足$f'\left(x\right)>k>1$，则下列结论中一定错误的是（　）

A．$f\left(\dfrac 1k\right)<\dfrac 1k$

B．$f\left(\dfrac 1k\right)>\dfrac 1{k-1}$

C．$f\left(\dfrac 1{k-1}\right)<\dfrac 1{k-1}$

D ．$f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac k{k-1}$

答案　 C．

提示　导函数$f'(x)$满足$f'(x)>k$，这提示我们构造函数 $$g(x)=f(x)-kx,$$ 于是$g(0)=-1$，且$g(x)$单调递增．

由于$\dfrac{1}{k-1}>\dfrac{1}{k}>0$，于是有 $$g\left(\dfrac{1}{k-1}\right)>g\left(\dfrac 1k\right)>g(0),$$ 整理知选项 C 的结论一定错误．

更多相关问题见每日一题[290]明察秋毫，每日一题[22]火眼金晴识原型．