每日一题[330]置于死地而后生

已知函数$f(x)=\dfrac {\mathrm{e}^x+m}{\mathrm{e}^x+1}$，若对于任意$a,b,c\in\mathcal{R}$都有$f(a)+f(b)>f(c)$成立，则实数$m$的取值范围是_______．

正确答案是$\left[\dfrac 12,2\right ]$．

解　关键是如何理解 $$\forall a,b,c\in \mathcal{R},f(a)+f(b)>f(c).$$ 假如你可以控制$a,b,c$，去想象不等式可能会面临的最严峻的形势是什么？

当然是$f(a),f(b)$尽可能地小，而$f(c)$尽可能地大时，才能置题中的条件于死地，即$f(a),f(b)$均为$f(x)$的最小值（下确界），而$f(c)$恰为$f(x)$的最大值（上确界）【注】．

所以题目条件即 $$2\min{f(x)}\geqslant \max{f(x)}.$$ 显然$m=1$时满足； 当$m<1$时，有 $$f(x)=1-\dfrac{1-m}{\mathrm{e}^x+1}\in(m,1),$$ 于是$2m\geqslant 1$，解得 $$m\in\left[\dfrac 12,1\right ).$$ 当$m>1$时，有 $$f(x)=1+\dfrac{m-1}{\mathrm{e}^x+1}\in(1,m),$$ 于是$2\cdot 1\geqslant m$，解得 $$m\in(1,2].$$ 综上知，$m$的取值范围为 $$\left[\dfrac 12,2\right ].$$

注　一个函数很可能没有最大值或最小值，但会无限接近某个值，比如函数$f(x)=2^x$没有最小值，但函数值往下可以无限接近$0$，这样的值$0$称为$f(x)$的下确界，最小值也为下确界；同样的也有上确界的概念．本题中用最大、最小值是不严格的，严格来说应该用上确界与下确界，准确的确界的概念需要用到极限的知识．