g(n)表示n的最大奇因数,如g(9)=9,g(10)=5.那么g(1)+g(2)+g(3)+⋯+g(22015−1)=_____.
解 根据g(n)的定义有g(n)={n,n为奇数,g(n2),n为偶数. 记Sn=g(1)+g(2)+g(3)+⋯+g(2n−1),则Sn=[g(1)+g(3)+⋯+g(2n−1)]+[g(2)+g(4)+⋯+g(2n−2)]=[1+3+⋯+(2n−1)]+[g(1)+g(2)+⋯+g(2n−1−1)]=4n−1+Sn−1.由累加法知S2015=42014+42013+⋯+41+1=13(42015−1).本题很难直接找到g(n)的表达式,但从g(n)满足的递推关系入手就容易很多,因为g(n)具有很好的递归结构.
递归是解决数列问题的一个常见思路,其中有递归结构的一个著名的问题是汉诺塔问题,这个问题是这样的:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面.僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽. 假设每秒钟可以移动一个金片,那么预言中的世界末日何时到来呢? 假设金片数量为n时,把一根针上的金片移动到另外一根针上需要an秒,则an就满足递推关系an=2an−1+1,n⩾从而可以由不动点法求得数列\{a_n\}的通项公式为a_n=2^n-1,所以a_{64}=18446744073709551615秒,折成年约为5845.54亿年.
注 汉诺塔问题参考百度百科.
最后给出一道练习:
数列\left \{2^n-1 \right \} 的前n项1,3,7,\cdots,2^n-1组成集合A_n= \{1,3,7,\cdots,2^n-1 \}(n \in {\mathcal N^*}),从集合A_n中任取k(k=1,2, \cdots ,n)个数,其所有可能的k个数的乘积的和为T_k(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记S_n=T_1+T_2+\cdots+T_n.例如当n=1时,A_1=\{1\},T_1=1,S_1=1;当n=2时,A_2=\{1,3\},T_1=1+3, T_2=1 \times 3,S_2=1+3+1 \times 3=7.则S_n=_______.
答案 2^{\frac{n(n+1)}{2}}-1.
提示 可以得到S_n满足的递推关系S_n=S_{n-1}+(2^n-1)+(2^n-1)\cdot S_{n-1},n\geqslant 2从而得到\dfrac {S_n+1}{S_{n-1}+1}=2^n,由累乘法即可得到S_n的表达式.
注 练习题另外一种解法见每日一题[308] 山重水复疑无路,似曾相识燕归来.递归结构的另外一个著名的例子是卡特兰数.