若实数$x,y$满足方程组\[\begin{cases} x^3+\cos x+x-2=0,\\8y^3-2\cos^2 y+2y+3=0.\\\end{cases} \]则$\cos(x+2y)$的值为_____．
正确答案是$1$．
解 方程组中的两个方程形式上很类似，我们将第二个式子变形为$$(-2y)^3+\cos(-2y)+(-2y)-2=0.$$令函数$$f(t)=t^3+\cos t+t-2,$$则$x$与$-2y$是这个函数的两个零点（可能相同）． 而$f(t)$的导函数$$f'(t)=3t^2-\sin t+1>0,$$所以函数$f(t)$单调递增，最多有一个零点．从而$$x=-2y,$$所以有$$\cos(x+2y)=1.$$ 看出两个方程之间的联系，从而构造函数将$x$与$-2y$联系起来是本题解题的关键．
下面给出一道练习： 设$x,y$为实数，且满足关系式\[\begin{cases} (x-1)^3+999(x-1)=-1,\\(y-1)^3+999(y-1)=1.\end{cases} \]则$x+y=$____．
答案 $2$． 提示 构造函数$$f(t)=t^3+999t,$$则$$f(x-1)=f(1-y),$$而$f(t)$是增函数，所以$$x-1=1-y.$$