每日一题[326]慧眼识真身

若实数$x,y$满足方程组

$$\begin{cases} x^3+\cos x+x-2=0,\\8y^3-2\cos^2 y+2y+3=0.\\\end{cases}$$ 则$\cos(x+2y)$的值为_____．

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正确答案是$1$．

解　方程组中的两个方程形式上很类似，我们将第二个式子变形为

$$(-2y)^3+\cos(-2y)+(-2y)-2=0.$$ 令函数 $$f(t)=t^3+\cos t+t-2,$$ 则$x$与$-2y$是这个函数的两个零点（可能相同）． 而$f(t)$的导函数 $$f'(t)=3t^2-\sin t+1>0,$$ 所以函数$f(t)$单调递增，最多有一个零点．从而 $$x=-2y,$$ 所以有 $$\cos(x+2y)=1.$$ 看出两个方程之间的联系，从而构造函数将$x$与$-2y$联系起来是本题解题的关键．

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下面给出一道练习： 设$x,y$为实数，且满足关系式

$$\begin{cases} (x-1)^3+999(x-1)=-1,\\(y-1)^3+999(y-1)=1.\end{cases}$$ 则$x+y=$____．

答案　$2$． 提示　构造函数

$$f(t)=t^3+999t,$$ 则 $$f(x-1)=f(1-y),$$ 而$f(t)$是增函数，所以 $$x-1=1-y.$$