每日一题[327]定比点差法

2015年高考数学北京文科第20题(解答压轴题):

已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于AB两点,直线AE与直线x=3交于点M

(1)求椭圆C的离心率;

(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.


cover 正确答案是(1)63;(2)1;(3)平行.

分析 第(1)(2)小题比较常规,略去,重点看第(3)小题.从第(2)小题给出的特殊情形可以猜测第(3)小题中BMDE平行,再去证明. 常规的证明方式是设出直线AB的斜率,联立直线与椭圆的方程消去一个参数,得到A,B的横坐标(或纵坐标)满足的方程,再用A,B的坐标表达出M点的坐标,去证明DEBM的斜率相等.这种方式的本质是引入直线AB的斜率作为参数,去表达直线与椭圆相交这样的关系,通过联立去进行消参,这也是圆锥曲线问题的一个比较常规的处理方式.但引入参数方式并不唯一,只要能达到消参的目的,同时能很好地表达题目中的条件与结论就是好参数. 下面给出另外一种设参思路,帮助我们看清设参的本质,本题关键条件有:A,D,B三点共线,A,E,M三点共线,A,B两点在椭圆上.解题的关键是要表达出这三个条件,并且方便证明DEBM,于是直接引入线段比作为参数.

 (3)直线BMDE平行,证明如下. 屏幕快照 2015-12-07 下午4.30.14AD=λDBA(x1,y1)B(x2,y2),则D(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)=(1,0),

于是{x1+λx2=1+λ,y1+λy2=0.
由已知,有{x21+3y21=3,λ2x22+3λ2y22=3λ2,
两式相减得(x1+λx2)(x1λx2)+3(y1+λy2)(y1λy2)=3(1+λ)(1λ),
应用D点坐标,可得x1λx2=33λ,
进而x1=2λ.
于是AEEM=2x132=λ,
根据平行线截割定理的逆定理可知,直线DE与直线BM平行. 本题的方法是处理与中点相关的问题的“点差法”的升华,称为“定比点差法”.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[327]定比点差法》有2条回应

  1. Pingback引用通告: 每日一题[352]“定比点差法”证定点问题 | 数海拾贝内容系统

  2. Pingback引用通告: 每日一题[352]“定比点差法”证定点问题 | Math173

发表回复