每日一题[53] 你能识破伪装吗

若实数$a,b$满足

$$\begin{cases}4^a+a=2\\{\log_2}\sqrt{2b+1}+b=2\end{cases}$$ 求$a+b$的值．

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正确的答案是$\dfrac 32$．

法一    换元法

令$t=a+b$，则$b=t-a$，代入

$${\log_2}\sqrt{2b+1}+b=2$$ 中有 $${\log_2}\sqrt{2t-2a+1}+t-a=2,$$ 将对数式整理成指数式，有 $$2t-2a+1=2^{4+2a-2t},$$ 将此式与已知条件的第一个式子在形式上尽量靠拢，有 $$4^{a+\frac 32-t}+a=t+\frac 12,$$ 不难观察得$t=\dfrac 32$． 接下来补充证明$t=\dfrac 32$的唯一性． 事实上由已知条件的第一个式子可知$a$是唯一确定的（左边关于$a$是单调递增函数），用类似的方式可以说明$t$也是唯一确定的．

法二    数形结合

原方程组等价于

$$\begin{cases}2^{2a+1}+(2a+1)=5\\{\log_2}\sqrt{2b+1}+b=2\end{cases}$$ 令$u=2a+1$，$v=2b+1$，则 $$a+b=\frac 12(u+v)-1.\qquad\cdots (*)$$ 此时条件转化为 $$\begin{cases}2^u+u=5\\{\log_2}v+v=5\end{cases}$$ 于是$u$、$v$分别是函数$y=2^x$与函数$y={\log_2}x$的图象与直线$y=5-x$的交点横坐标，如图． 因为$y=2^x$与$y={\log_2}x$互为反函数，图象关于直线$y=x$对称，于是 $$u+v=x_A+x_B=2x_M=5.\qquad\cdots (**)$$ 由(*)(**)可得，$a+b$的值为$\dfrac 32$． 下面给出一道练习题（由刘艳辉提供）．

已知实数$a>1$，若函数$y=a^{\frac x{\mathrm e}}$的图象与函数$y={\mathrm e}{\log_a}x$的图象有两个不同的交点，则$a$的取值范围是_______． 答案是$(1,{\mathrm e})$．