每日一题[318]等分点

过点$M(2,1)$的直线交椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1$于$A$、$B$两点，使$M$是弦$AB$的一个三等分点，求此直线的斜率．

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正确答案是$\dfrac{-4\pm \sqrt 7}6$． 解　容易验证当$AB$的斜率不存在时，不符合题意． 当$AB$的斜率为$k$时，设直线$AB$的方程为

$$\begin{cases}x=2+t,\\y=1+kt,\end{cases}$$ 其中$t$为参数． 与椭圆方程联立得 $$\dfrac{(2+t)^2}{16}+\dfrac{(1+kt)^2}4=1,$$ 即 $$\begin{eqnarray} (4k^2+1)t^2+(8k+4)t-8=0,\end{eqnarray}$$ 设此方程的两根为$t_1,t_2$，分别对应点$A,B$，有 $$\dfrac{t_1}{t_2}=-2,$$ 因为$t_1,t_2$为方程（1）的两根，所以有 $$\begin{eqnarray} (8k+4)^2=\left(-2-\dfrac 12+2\right )(4k^2+1)\cdot (-8),\end{eqnarray}$$ 化简得$12k^2+16k+3=0$，解得 $$k=\dfrac{-4\pm \sqrt 7}6.$$ 注　得到（2）式的过程中用到以下结论，我们称为两根比公式： 若$x_1$,$x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个根，且$\dfrac{x_1}{x_2}=\lambda$，则 $$b^2=\left(\lambda+\dfrac 1{\lambda}+2\right)ac.$$ 证明　由韦达定理知 $$\begin{cases}x_1+x_2=(1+\lambda)x_2=-\dfrac ba, \quad(3)\\x_1x_2=\lambda x_2^2=\dfrac ca,\qquad(4) \end{cases}$$ $\dfrac {(3)^2}{(4)}$得 $$\dfrac {(1+\lambda )^2}{\lambda }=\dfrac {b^2}{ac},$$ 于是得到上面的两根比公式． 两根比公式得到了一元二次方程两根之比与方程的系数之间的关系，可以简化计算过程．当$\lambda =1$时，两根相等，两根比公式即$b^2=4ac$，即方程的判别式为零．注意两根比公式应用的前提也是一元二次方程的根存在．