每日一题[313]以点代面

设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，其前$n$项的积为$T_n$，并且满足条件$a_1>1$，$a_{99}\cdot a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$．给出下列结论，其中正确的结论有______．

① $0<q<1$；

②  $a_{99}\cdot a_{101}-1>0$；

③ $T_{100}$的值是$T_n$中最大的；

④ 使$T_n>1$成立的最大自然数$n$等于$198$．

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正确答案是①④．

解　根据待判断的结论知本题关键是分析数列的各项与$1$的大小关系，为此先判断公比$q$的取值范围．

当$q<0$时，数列是正负交替的，显然不满足条件，所以有

$$q>0.$$

由条件$a_{99}a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$知，$a_{99}$与$a_{100}$在$1$的两边，而$a_1>1$，故

$$0<q<1\land a_{99}>1\land a_{100}<1,$$ ①正确；

并且数列$\{a_n\}$是递减数列，示意图如下：

于是

$$a_{99}\cdot a_{101}-1=a_{100}^2-1<0,$$ ②错误；

$T_n$中最大的项即所有大于等于$1$的项的乘积，为$T_{99}$，③错误；

因为

$$T_{198}=(a_1a_{198})^{99}=(a_{99}a_{100})^{99}>1,$$ 而 $$T_{199}=a_{100}^{199}<1,$$ 故使得$T_n>1$成立的最大自然数为$198$，④正确．

事实上，我们可以定义

$$a_{k+\frac 12}=\sqrt{a_ka_{k+1}},$$ 比如$a_{1}a_{2}=a_{1.5}^2$，则由等比数列的性质知 $$T_n=a_{\frac {n+1}{2}}^n,$$ 从而我们只需要找到$a_k$（其中$2k\in{\mathcal N^*}$）从大于$1$变到小于$1$的临界项即可，由题意知 $$a_{99.5}>1\land a_{100}<1,$$ 故$T_{198}$是$T_n$中最后一个大于$1$的项．

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等比数列的前$n$项和积与等差数列的前$n$项和有很多类似的性质，等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$满足

$$S_n=\dfrac {a_1+a_n}{2}\cdot n,$$ 当$n$为奇数时，存在中间一项，有 $$S_n=na_{\frac{n+1}{2}},$$ 而当$n$为偶数时，以上表达式在常规意义上不存在，但是从理解上来看，完全可以令 $$a_{k+\frac 12}=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2},k\in\mathcal N^*$$ 于是不管$n$是奇是偶，都有 $$S_n=na_{\frac{n+1}{2}},$$ 这有时可以带来思考上的方便，比如下面的练习：

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在等差数列$\{a_n\}$中，若它的前$n$项之和$S_n$有最大值，且$\dfrac {a_{11}}{a_{10}}<-1$，那么当$S_n$是最小正数时，$n$的值为____．

答案　$19$

提示　由$S_n$有最大值知$d<0$，而$a_{10}$与$a_{11}$异号，故

$$a_{10}>0\land a_{11}<0\land a_{10}+a_{11}<0.$$ 即 $$a_{10.5}<0\land a_{10}>0.$$ 对应到以它们为中间项的和知 $$S_{20}<0\land S_{19}>0.$$ 

注　这样的写法不是规范写法，只是一种便捷的思考的方式．