设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，其前$n$项的积为$T_n$，并且满足条件$a_1>1$，$a_{99}\cdot a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$．给出下列结论，其中正确的结论有______．
① $0<q<1$；
② $a_{99}\cdot a_{101}-1>0$；
③ $T_{100}$的值是$T_n$中最大的；
④ 使$T_n>1$成立的最大自然数$n$等于$198$．
正确答案是①④．
解 根据待判断的结论知本题关键是分析数列的各项与$1$的大小关系，为此先判断公比$q$的取值范围．
当$q<0$时，数列是正负交替的，显然不满足条件，所以有$$q>0.$$
由条件$a_{99}a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$知，$a_{99}$与$a_{100}$在$1$的两边，而$a_1>1$，故$$0<q<1\land a_{99}>1\land a_{100}<1,$$①正确；
并且数列$\{a_n\}$是递减数列，示意图如下：
于是$$a_{99}\cdot a_{101}-1=a_{100}^2-1<0,$$②错误；
$T_n$中最大的项即所有大于等于$1$的项的乘积，为$T_{99}$，③错误；
因为$$T_{198}=(a_1a_{198})^{99}=(a_{99}a_{100})^{99}>1,$$而$$T_{199}=a_{100}^{199}<1,$$故使得$T_n>1$成立的最大自然数为$198$，④正确．
事实上，我们可以定义$$a_{k+\frac 12}=\sqrt{a_ka_{k+1}},$$比如$a_{1}a_{2}=a_{1.5}^2$，则由等比数列的性质知$$T_n=a_{\frac {n+1}{2}}^n,$$从而我们只需要找到$a_k$（其中$2k\in{\mathcal N^*}$）从大于$1$变到小于$1$的临界项即可，由题意知$$a_{99.5}>1\land a_{100}<1,$$故$T_{198}$是$T_n$中最后一个大于$1$的项．
等比数列的前$n$项和积与等差数列的前$n$项和有很多类似的性质，等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$满足$$S_n=\dfrac {a_1+a_n}{2}\cdot n,$$当$n$为奇数时，存在中间一项，有$$S_n=na_{\frac{n+1}{2}},$$而当$n$为偶数时，以上表达式在常规意义上不存在，但是从理解上来看，完全可以令$$a_{k+\frac 12}=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2},k\in\mathcal N^*$$于是不管$n$是奇是偶，都有$$S_n=na_{\frac{n+1}{2}},$$这有时可以带来思考上的方便，比如下面的练习：
在等差数列$\{a_n\}$中，若它的前$n$项之和$S_n$有最大值，且$\dfrac {a_{11}}{a_{10}}<-1$，那么当$S_n$是最小正数时，$n$的值为____．
答案 $19$
提示 由$S_n$有最大值知$d<0$，而$a_{10}$与$a_{11}$异号，故$$a_{10}>0\land a_{11}<0\land a_{10}+a_{11}<0.$$即$$a_{10.5}<0\land a_{10}>0.$$对应到以它们为中间项的和知$$S_{20}<0\land S_{19}>0.$$
注 这样的写法不是规范写法，只是一种便捷的思考的方式．