每日一题[303] 柳暗花明

这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的一道题目：

已知函数$f(x)=\dfrac ax-x$，对任意$x\in (0,1)$，有$f(x)\cdot f(1-x)\geqslant 1$恒成立，则实数$a$的取值范围为_______．

正确答案是$\left(-\infty ,-\dfrac 14\right]\cup \left[1,+\infty \right )$

解    原不等式即 $$\begin{eqnarray} \left(\dfrac ax-x\right)\left[\dfrac{a}{1-x}-(1-x)\right]\geqslant 1,\end{eqnarray}$$ 如果我们视$x$为变量，$a$为参数，那么就会陷入一个研究四次函数的困境．

但是如果我们视$a$为主元，$x$为参数去解这个不等式，那么就柳暗花明了．(1)也即 $$a^2-\left[x^2+(1-x)^2\right]\cdot a+x^2(1-x)^2-x(1-x)\geqslant 0,$$ 视其为关于$a$的二次式，其判别式 $$\Delta=\left[x^2+(1-x)^2\right]^2-4x^2(1-x)^2+4x(1-x)=1,$$ 于是该不等式等价于 $$a \leqslant \dfrac{x^2+(1-x)^2-1}2\lor a\geqslant \dfrac{x^2+(1-x)^2+1}2.$$

当$x$在$(0,1)$内变化时，$a$的取值区间 $$\left(-\infty ,\dfrac{x^2+(1-x)^2-1}2\right]\cup\left[\dfrac{x^2+(1-x)^2+1}2,+\infty \right)$$ 也在变化．$a$的取值需要“以不变应万变”，因此所求$a$的取值范围就是这无数个区间的交集．

由于 $$\dfrac 12\leqslant x^2+(1-x)^2<1,$$ 于是欲求的交集即$\left(-\infty ,-\dfrac 14\right]\cup \left[1,+\infty \right )$，此即$a$的取值范围．

本题也可以不变换主元，通过换元法，将四次问题转化为二次问题，这也是处理高次问题的一个常见思路：

因为$x\in(0,1)$，所以(1)式可以变形为 $$\left[x(1-x)\right ]^2+(2a-1)x(1-x)+a(a-1)\geqslant 0.$$ 令$t=x(1-x)$，则 $$t\in\left(0,\dfrac 14\right].$$ 题目条件转化为 $$t^2+(2a-1)t+a(a-1)=(t+a)(t+a-1)\geqslant 0$$ 对$t\in\left(0,\dfrac 14\right ]$恒成立．

于是有$-a\geqslant \dfrac 14$或$-a+1\leqslant 0$，解得$a\leqslant -\dfrac 14$或$a\geqslant 1$．

最后将题目改一下作为练习留给读者．

已知函数$f(x)=\dfrac ax-x$，对任意$x\in (0,1)$，有$f(x)\cdot f(1-x)\geqslant 0$恒成立，则实数$a$的取值范围为_______．

答案　$(-\infty ,0]\cup [1,+\infty )$．

提示　变换主元可以得到 $$(a-x^2)\left[a-(1-x)^2\right]\geqslant 0$$ 对$x\in(0,1)$恒成立，从而得到$a$的范围．

注　因为$0$的特殊性，练习也可以直接根据$f(x)$的性质得到结果：

当$a\leqslant 0$时，$f(x)<0$ 对$x\in(0,1)$恒成立，从而题目不等式恒成立；

当$a>0$时，$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，故只需要$f(1)\geqslant 0$即可，解得$a\geqslant 1$．