每日一题[297] 保值区间

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一个问题,由江苏无锡王举老师提供.

已知函数f(x)=|x2a|,其中a>0.若恰好有两组解(m,n)使得f(x)在定义域[m,n]上的值域也为[m,n],求实数a的取值范围.


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正确答案是(34,2)

   由于f(x)0,于是m0ma.按a所在的位置分三种情况讨论.

第一种情况,m<na时.

此时f(x)=x2+a[m,n]上单调递减,于是{f(m)=n,f(n)=m,{m2+a=n,n2+2=m,两式相减得m+n=1,于是mn是关于t的方程t2+a=1t的两个根,如图1.

QQ20151111-0

图1

因此关于t的方程t2t+1a=0[0,a]有两个不等实根,即{(t2t+1a)|t=00,(t2t+1a)|t=a0,0<12<a,Δ=14(1a)>0,解得34<a1.

第二种情况,m<a<n时.

此时必然有m=0,于是f(x)在区间[m,n]上的最大值为f(0)f(n)

如图2,若n=f(0),则n=af(a)a,解得1<a2.

QQ20151111-1

图2

如图3,若n=f(n),则n=1+1+4a2a,解得a2.

QQ20151111-2

图3

而当a=2时以上两种情况对应的区间均为[0,2]

第三种情况,a<m<n时.

此时f(x)在定义域[m,n]上单调递增,于是{f(m)=m,f(n)=n,也就是方程f(x)x=0在区间(a,+)上有两个不等实根.

但在区间[m,n]上,函数h(x)=f(x)x=x2xax=a处的函数值小于零,于是不能在区间(a,+)上有两个不同零点.

综合以上三种情况,a的取值范围是(34,2)

a(34,1]时,符合题意的两组解分别为(m,n)=(14a32,1+4a32),(0,1+1+4a2);a(1,2)时,符合题意的两组解分别为(m,n)=(0,a),(0,1+1+4a2).

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每日一题[297] 保值区间》有3条回应

  1. Avatar photo pang说:

    请问,第二种情况中,为什么m=0

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