这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一个问题,由江苏无锡王举老师提供.
已知函数f(x)=|x2−a|,其中a>0.若恰好有两组解(m,n)使得f(x)在定义域[m,n]上的值域也为[m,n],求实数a的取值范围.
正确答案是(34,2).
解 由于f(x)⩾0,于是m⩾0∧m≠√a.按√a所在的位置分三种情况讨论.
第一种情况,m<n⩽√a时.
此时f(x)=−x2+a在[m,n]上单调递减,于是{f(m)=n,f(n)=m,即{−m2+a=n,−n2+2=m,两式相减得m+n=1,于是m、n是关于t的方程−t2+a=1−t的两个根,如图1.
因此关于t的方程t2−t+1−a=0在[0,√a]有两个不等实根,即{(t2−t+1−a)|t=0⩾0,(t2−t+1−a)|t=√a⩾0,0<12<√a,Δ=1−4(1−a)>0,解得34<a⩽1.
第二种情况,m<√a<n时.
此时必然有m=0,于是f(x)在区间[m,n]上的最大值为f(0)或f(n).
如图2,若n=f(0),则n=a∧f(a)⩽a,解得1<a⩽2.
如图3,若n=f(n),则n=1+√1+4a2⩾a,解得a⩽2.
而当a=2时以上两种情况对应的区间均为[0,2].
第三种情况,√a<m<n时.
此时f(x)在定义域[m,n]上单调递增,于是{f(m)=m,f(n)=n,也就是方程f(x)−x=0在区间(√a,+∞)上有两个不等实根.
但在区间[m,n]上,函数h(x)=f(x)−x=x2−x−a在x=√a处的函数值小于零,于是不能在区间(√a,+∞)上有两个不同零点.
综合以上三种情况,a的取值范围是(34,2).
当a∈(34,1]时,符合题意的两组解分别为(m,n)=(1−√4a−32,1+√4a−32),(0,1+√1+4a2);当a∈(1,2)时,符合题意的两组解分别为(m,n)=(0,a),(0,1+√1+4a2).
请问,第二种情况中,为什么m=0?
因为值域中必然包含0.
(⊙o⊙)哦 谢谢!