每日一题[44] “垂径定理”二三事

我们先来看一道简单的试题．

（2015年北京朝阳高三期末理）已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点$\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$．过椭圆右顶点$A$的两条斜率乘积为$-\dfrac 14$的直线分别交椭圆$C$于$M,N$两点．

（1）求椭圆$C$的标准方程；

（2）直线$MN$是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

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参考答案    （1）$C:\dfrac{x^2}4+y^2=1$；（2）定点坐标为$(0,0)$．

熟悉椭圆的垂径定理的同学一定知道这个定理的有用推论（并且也可作为椭圆的斜率积定义，有时这个定义又称为第三定义）：

椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上的点$P$与椭圆的直径$AB$（过椭圆中心的直线被椭圆截得的线段）的两个端点的连线的斜率之积

$$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}.$$

这个题目是该推论的逆命题：

对于椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上的点$P$，过$P$作两条直线$PA$、$PB$（点$A$、$B$为椭圆上不同于$P$的点），它们的斜率之积

$$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2},$$ 那么线段$AB$是椭圆的直径（即直线$AB$通过椭圆的中心）．

现在进入正题．

（2015年北京海淀高三期末理）已知椭圆$M:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，点$F_1$、$C$分别是椭圆$M$的左焦点、左顶点，过点$F_1$的直线$l$（不与$x$轴重合）交$M$于$A$、$B$两点．

（1）求$M$的离心率及短轴长；

（2）是否存在直线$l$，使得点$B$在以线段$AC$为直径的圆上，若存在，求出直线$l$的方程；若不存在，说明理由．

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（1）$e=\dfrac 12$，$2b=2\sqrt 3$．

（2）不存在直线$l$，使得点$B$在以线段$AC$为直径的圆上，证明如下．

原问题即$\angle ABC$是否可能为直角，我们接下来证明$\angle ACB$为钝角来否定$\angle ABC$为直角的可能性．

将坐标系平移至以$C$为原点$C'$，则椭圆方程变为

$$\frac{\left(x'-2\right)^2}{4}+\frac{y'^2}3=1,$$ 即 $$\frac 14x'^2-x'+\frac 13y'^2=0.$$

此时$F_1'(1,0)$，因此可设直线

$$A'B':x'+ny'=1,$$ 与椭圆方程化齐次联立，有 $$\frac 14x'^2-x'\left(x'+ny'\right)+\frac 13y'^2=0,$$ 也即 $$\frac 13\left(\frac{y'}{x'}\right)^2-n\cdot\frac{y'}{x'}-\frac 34=0,$$ 于是 $$k_{C'A'}\cdot k_{C'B'}=-\frac 94,$$ 因此$\angle A'C'B'$为钝角，也即$\angle ACB$为钝角，欲证命题成立．

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 点评    事实上，我们有结论

若椭圆上一点与动弦的两端点的连线斜率之积为定值，那么动弦过定点．

证明留给读者．