每日一题[41] 联立三次又何妨

已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的长轴长为\(4\)，过左焦点\(F_1\)且垂直于\(x\)轴的直线被椭圆\(C\)截得的线段长为\(1\)．

（1）求椭圆\(C\)的方程；

（2）设点\(A\)为椭圆的右顶点，过\(B(1,0)\)作直线与椭圆\(C\)相交于\(E\)、\(F\)两点，若直线\(AE\)、\(AF\)分别与直线\(x=3\)交于不同的两点\(M\)、\(N\)．求\(\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}\)的取值范围．

（1）根据题意，通径长为\(1\)，于是由\[2a=4,\frac{2b^2}{a}=1,\]解得\[a=2,b=1.\]于是所求椭圆方程为\[\frac{x^2}4+y^2=1.\]

（2）设\(E(x_1,y_1)\)，\(F(x_2,y_2)\)，\(M(3,m)\)，\(N(3,n)\)，直线\(EF:y=k(x-1)\)，其中\(k\neq 0\)．

由\(EAM\)、\(FAN\)分别共线，可以解得\[m=\frac{y_1}{x_1-2},n=\frac{y_2}{x_2-2}.\]

于是\[\begin{split}\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}&=\left(3-x_1\right)\left(3-x_2\right)+\left(m-y_1\right)\left(n-y_2\right)\\&=\left(3-x_1\right)\left(3-x_2\right)+y_1y_2\cdot\frac{\left(3-x_1\right)\left(3-x_2\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}\\&=\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)\cdot\left[1+k^2\cdot\frac{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}\right]\qquad\cdots (*)\end{split}\]

联立直线\(EF\)与椭圆方程，有\[x^2+4k^2(x-1)^2-4=0.\]

分别令\(u=x-1\)，\(v=x-2\)，\(w=x-3\)，得\[\begin{split}\left(4k^2+1\right)u^2+2u-3&=0\\\left(4k^2+1\right)v^2+\left(8k^2+4\right)v+4k^2&=0\\\left(4k^2+1\right)w^2+\left(16k^2+6\right)w+16k^2+5&=0.\end{split}\]

从而\[\begin{split}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)&=-\frac{3}{4k^2+1};\\\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)&=\frac{4k^2}{4k^2+1};\\\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)&=\frac{16k^2+5}{4k^2+1}.\end{split}\]

代入(*)式，有\[\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}=1+\frac{1}{16k^2+4}.\]

于是\(\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}\)的取值范围为\(\left(1,\dfrac54\right)\)．

 注    在计算中，我们发现\[k^2\cdot\frac{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}=-\frac 34\]为定值，这是不是偶然的呢？

答案是否定的．

将坐标系平移至以\(A\)为原点\(O'\)，此时椭圆方程为\[\frac 14x'^2+x'+y'^2=0,\]而\(B'(-1,0)\)，于是可设直线\[E'F':-x'+ty'=1,\]化齐次联立，得\[y'^2+tx'y'-\frac 34x'^2=0,\]于是可得\[k_{AE}\cdot k_{AF}=-\frac 34.\]

而事实上\[\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}=\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)\cdot \left(1+k_{AE}\cdot k_{AF}\right).\]

这样可能可以简化部分运算．