每日一题[289] 壮士断腕

下面是一道导数小题：

已知函数$f(x)=\dfrac 13x^3+\dfrac 12bx^2+cx+d$在区间$(0,1)$上既有极大值又有极小值，则$c^2+(1+b)c$的取值范围是_______．

正确答案是$\left(0,\dfrac 1{16}\right)$．

解    虽然本题需用利用导数知识得到关于$x$的方程 $$x^2+bx+c=0$$ 在区间$(0,1)$上有两根，但是解决问题的关键是如何根据此含参二次方程的根的分布确定系数形成的代数式的取值范围．

如果我们直接将根的分布转化为对系数的要求： $$\begin{cases} c>0,\\1+b+c>0,\\0<-\dfrac b2<1,\\b^2-4c>0,\end{cases}$$ 那么就需要面对一个复杂的规划问题，需要付出沉重的代价．

那么怎样才能简化问题呢？

其实借助韦达定理，我们可以轻松的完成从根到系数的转化（从系数到根的转化是由二次方程的求根公式承担的），于是放弃所有原有参数，选择用此二次方程的两个根$x_1$和$x_2$为参数描述问题．

此时，$x_1,x_2\in (0,1)$，而 $$c=x_1\cdot x_2,b=-(x_1+x_2),$$ 代入欲求代数式整理得 $$c^2+(1+b)c=x_1 \cdot x_2 \cdot (1-x_1) \cdot (1-x_2),$$ 借助均值不等式，不难得到$c^2+(1+b)c$的取值范围是$\left( 0,\dfrac 1{16}\right)$．

事实上，令方程左边为$h(x)$，则 $$h(x)=(x-x_1)\cdot (x-x_2),$$ 如果观察到 $$c^2+(1+b)c=h(0)\cdot h(1),$$ 那么可以更直接的得到它用$x_1$与$x_2$表达的式子．

点评    根据具体的问题选取合适的参数是简便求解的基本出发点．在这个问题中，同学们应该有放弃所有原有参数而重新设参的勇气．

注一    更多的类似问题可以参考《征解问题[9] 二次函数的特殊根》．

注二    此题即《每日一题[99] 两次调整》，分别是两种不同的设参思路．