每日一题[288] 云手化劲

2015年北京市人大附中高二期中复习题（原题为选择题）：

正四面体$ABCD$的棱长为$1$，平面$\alpha$是与棱$AB$平行的平面，$E$、$F$分别是棱$AD$和$BC$的中点，以$AB$为轴将正四面体$ABCD$旋转一周，线段$EF$在平面$\alpha$上的射影$E_1F_1$长的范围是_______．

正确答案是$\left[\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$．

解    可以直接通过一些特殊位置确定$EF$的长度的取值范围是$\left[\dfrac{\sqrt 2}2EF,EF\right]$，但严格求解的难度不小．我们可以通过一些常见的转化来将这个复杂的问题逐步简化．

第一步转化，正四面体的问题往往可以在其“外接正方体”中研究，这样更有利于数量和位置关系的推断，如图1．

图1   转化到正方体中

由于研究的是线段$EF$在平面$\alpha$上的投影，因此可以取$\alpha$为底面$AB$．同时，正四面体绕$AB$转动，可以转化为底面$AB$绕直线$AB$转动．容易计算得$EF=\dfrac{\sqrt 2}2$，于是问题的关键就是在转动中$EF$与平面$\alpha$形成的线面角的取值范围．

第二步转化，在平面$\alpha$的旋转过程中需要探索的线面角难以研究，因此将其转化为平面$\alpha$的法线与$EF$形成的线线角的取值范围，如图2．

图2 平面方向由法线刻画

此时，平面$\alpha$的法线可以取遍正四面体的外接正方体的包含$CD$的对角面内的直线．

然后从复杂的图形中将相关部分提炼出来．我们知道，$EF$与对角面所成的角为$\dfrac {\pi} 4$，因此，平面$\alpha$的法线与$EF$的线线角的取值范围是$\left[\dfrac {\pi} 4,\dfrac {\pi} 2\right]$，如图3.

图3  线面角最小

因此转动中$EF$与平面$\alpha$形成的线面角的取值范围是$\left[0,\dfrac {\pi} 4\right]$，于是所求的投影$E_1F_1$的取值范围是$\left[\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 2}2\right]$．

在立体几何问题的解决过程中，掌握一些常见的转化手法（如同太极云手），就可以将问题逐步转化为简单而容易解决的问题，达到举重若轻的效果了．