每日一题[283] 千树万树梨花开

编者按    本文原作者为刘杨，编辑为意琦行，有大量补充和细节更正．

2011年高考浙江卷理科数学第12题：

已知$x,y\in\mathcal R$，$4x^2+y^2+xy=1$，则$2x+y$的最大值为_______．

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解    首先重新叙述问题：

已知$x,y\in\mathcal R$，$x^2+y^2+\dfrac 12xy=1$，求$x+y$的最大值．

解决问题的核心在于如何处理掉交叉项$xy$，有以下不同的思路．

法一    利用均值不等式建立$xy$与$x+y$的联系

根据已知，有

$$\begin{split} 1&=x^2+y^2+\dfrac 12xy\\&=(x+y)^2-\dfrac 32xy\\&\geqslant (x+y)^2-\dfrac 32\cdot \left(\dfrac{x+y}{2}\right) ^2\\&=\dfrac 58(x+y)^2,\end{split}$$ 于是 $$x+y\leqslant \sqrt {\dfrac 85}=\dfrac {2\sqrt{10}}5,$$ 等号当$x=y=\dfrac {\sqrt {10}}5$时取得，因此所求$x+y$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

法二    利用齐次特性创造运用均值不等式的条件

当$xy=0$时，$x+y=\pm 1$；

当$xy\neq 0$时，由于

$$\begin{split} (x+y)^2&=\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2+\frac 12x y}\\&=1+\dfrac{\frac 32xy}{x^2+y^2+\frac 12xy}\\&=1+\dfrac{\frac 32}{\frac xy+\frac yx+\frac 12}\\&\leqslant 1+\dfrac{\frac 32}{2+\frac 12}=\dfrac 85,\end{split}$$ 等号当$x=y=\dfrac {\sqrt {10}}5$时取得，因此所求$x+y$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

法三    对二次式进行配方

引入参数，试图使得

$$(x+y)^2-\lambda\left(x^2+y^2+\dfrac 12xy\right)$$ 为完全平方式，即二次式 $$(1-\lambda)x^2+\left(2-\dfrac 12\lambda\right) xy+(1-\lambda)y^2$$ 的判别式 $$\Delta=\left(2-\dfrac 12\lambda\right)^2-4(1-\lambda)^2=0,$$ 解得$\lambda=\dfrac 85$（$\lambda=0$舍去），进而可得$x+y$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

法四   利用判别式处理二次式

令$t=x+y$，则$y=t-x$，代入已知条件，整理得

$$3x^2-3tx+2t^2-2=0,$$ 其判别式 $$\Delta=-15t^2+24\geqslant 0,$$ 解得 $$-\dfrac{2\sqrt{10}}5 \leqslant t\leqslant \dfrac {2\sqrt {10}}5,$$ 右边等号当$x=y=\dfrac {\sqrt {10}}5$时取得，因此所求$x+y$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

法五    主元配方后三角换元

将题中条件通过主元配方转化为

$$\left(x+\dfrac 14y\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{15}}4y\right)^2=1,$$ 于是令 $$x+\dfrac 14y=\cos\theta,\dfrac{\sqrt{15}}4y=\sin\theta,$$ 此时 $$x+y=\dfrac{3}{\sqrt{15}}\sin\theta+\cos\theta,$$ 其最大值为 $$\sqrt{\left( \dfrac{3}{\sqrt{15}}\right)^2+1^2}=\dfrac{2\sqrt{10}}5,$$ 等号显然可以取到，于是所求最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

法六    联想已知条件的几何意义

先考虑$x,y$均为正实数的情形．

由于已知条件的形式，联想余弦定理．将条件改写为

$$x^2+y^2-2xy\cdot \left (-\dfrac 14\right) =1,$$ 于是可以构造$\triangle ABC$，其中$BC=x$，$CA=y$，$AB=1$，角$C$为定角$\arccos\left(-\dfrac 14\right)$．

接下来求$BC+CA$的最大值，有两种不同的途径．

三角途径

由正弦定理，有

$$\dfrac{x}{\sin A}=\dfrac{y}{\sin B}=\dfrac{1}{\sin C},$$ 于是 $$\begin{split} x+y&=\dfrac{\sin A+\sin B}{\sin C}\\&=\dfrac{2\sin\frac{A+B}2\cdot\cos\frac{A-B}2}{\sin C}\\&\leqslant \dfrac{2\sin\frac{\pi-C}2}{\sin C}=\dfrac{2\sqrt{10}}5,\end{split}$$ 当$A=B$，即$x=y=\dfrac{\sqrt{10}}5$时取得等号．

几何途径

直接考虑定线段$AB$所对的角$C$为定角，于是$C$在以$AB$为弦的一段圆弧上．此时求$AC+BC$的最大值不易（需要借助椭圆）．

延长$AC$到$D$，使得$CD=CB$，则$\angle ADB$也为定角（为$\arcsin\sqrt{\dfrac{5}{8}}$），于是$D$也在以$AB$为弦的一段圆弧上，此时易得$AD$的最大值为圆弧的直径，为

$$\dfrac{AB}{\sin D}=\dfrac{2\sqrt{10}}5,$$ 当$C$平分$AD$，即$x=y=\dfrac{\sqrt{10}}5$时取得等号，因此所求$x+y$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

接下来证明当$x,y$不均为正实数时$x+y \leqslant \dfrac{2\sqrt{10}}5$：

当$x,y\leqslant 0$时，显然；

当$xy<0$时，有

$$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy< x^2+y^2+\dfrac 12xy=1,$$ 于是 $$x+y <1<\dfrac{2\sqrt{10}}5.$$

于是所求的最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．

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注一     法五中利用三角处理的部分也可以通过柯西不等式进行描述．

注二    可以利用变换

$$\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt 2}2&\dfrac{\sqrt 2}2\\-\dfrac{\sqrt 2}2&\dfrac{\sqrt 2}2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}$$ 将椭圆$x^2+y^2+\dfrac 12xy=1$旋转$45^\circ$，将其“摆正”为 $$\dfrac{3m^2}4+\dfrac{5n^2}4=1,$$ 如图．

所求$x+y=\sqrt 2n$，其最大值为$\dfrac{2\sqrt{10}}5$．