[易错题汇编]（十二）计数原理篇

一、组合数

$\mathrm{C}_{3n}^{38-n}+\mathrm{C}_{21+n}^{3n}=$_____．

答案　$466$

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二、计数问题

（1）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有_____种；

（2）某校开设人文类选修课$3$门，科学类选修课$4$门，一位同学从中共选$3$门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_____种；

（3）$3$名医生与$6$名护士分配到$3$所学校为学生体检，每校分配$1$名医生与$2$名护士，不同的分配方法共有_____种；

（4）把$6$本不同的书平均分成$3$组，不同的分法有_____种；

（5）$5$本不同的书全部分给$4$个学生，每个学生至少一本，不同的分法有_____种；

（6）有大小、形状相同的$3$个红色小球和$5$个白色小球，排成一排，不同的排法有_____种；

（7）编号为$1,2,3,4,5$的五个人，分别坐在编号为$1,2,3,4,5$的座位上，则至少有两个号码一致的坐法有_____种；

（8）有两排座位，前排$11$个，后排$12$个，现安排$2$人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法有_____种．

答案　（1）$81$；（2）$30$；

（3）$540$；（4）$15$；

（5）$240$；（6）$56$；

（7）$31$；（8）$346$．

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三、二项式定理

（1）在$\left(x^3+\dfrac {2}{x^2}\right )^5$的展开式中，$x^5$的系数为_____，二项式系数为_____；

（2）如果$\left(3x-\dfrac {1}{\sqrt[3]{x^2}}\right )^n$的展开式中各项系数和为$128$，则展开式中$\dfrac {1}{x^3}$的系数为______；

（3）已知$\left(\sqrt x-\dfrac {2}{\sqrt[3] x}\right )^n$的展开式中，第三项比第二项的系数大$162$，则$x$的二次项系数为______；

（4）在二项式$(x-1)^{11}$的展开式中，系数最小的项为_____；

（5）已知$\left(x-\dfrac {2}{x}\right )^n$的展开式中，第五项的系数与第三项的系数之比为$10:1$，则展开式中系数最大的项为第_____项，二项式系数最大的项为第_____项．

答案　（1）$40$、$10$；

（2）$21$；

（3）$-672$；

（4）$-462x^6$；

（5）$7$、$5$．