[易错题汇编]（十）直线与圆篇

一、直线的基本量与位置关系

（1）直线$x\cos\theta +\sqrt 3 y-2=0(\theta\in\mathcal{R})$的倾斜角的范围是_____；

（2）已知两点$A(-1,4),B(3,2)$，过点$P(2,1)$的直线$l$与线段$AB$有公共点，则$l$的倾斜角的取值范围是_____，斜率的取值范围是_____；

（3）若直线$x+2ay-1=0$与直线$(3a-1)x-ay-1=0$平行，则$a=$_____；

（4）若直线$ax+(1-a)y=3$与直线$(a-1)x+(2a+3)y=2$垂直，则$a=$_____；

（5）已知直线$l$与$A(3,3)$和$B(5,2)$的距离都相等，且过直线$l_1:3x-y-1=0$与$l_2:x+y-3=0$的交点，则直线$l$的方程为_____．

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答案 （1）$\left[0,\dfrac {\pi}{6}\right ]\cup\left[\dfrac {5\pi}{6},\pi\right )$；

（2）$\left[\dfrac {\pi}{4},\dfrac {3\pi}{4}\right]$，$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$；

（3）$0$或$\dfrac 16$；

（4）$1$或$-3$；

（5）$x-6y+11=0$或$x+2y-5=0$．

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二、直线与圆

（1）已知圆的方程为$x^2+y^2+ax+2y+a^2=0$，已知过点$A(1,2)$可以作两条圆的切线，则$a$的取值范围是_____；

（2）一直线过点$\left(-3,-\dfrac 32\right )$，且被圆$x^2+y^2=25$截得的弦长为$8$，则此弦所在的直线方程为____________；

（3）已知圆的方程为$x^2+y^2+8x+12=0$，在此圆的所有切线中，横纵截距相等的条数有_____；

（4）已知直线$y=x+b$与曲线$y=\sqrt{1-x^2}$有两个公共点，则实数$b$的取值范围是_____．

答案　（1）$\left(-\dfrac 23\sqrt 3,\dfrac 23\sqrt 3\right )$；

（2）$x=-3$或$3x+4y+15=0$；

（3）$4$；

（4）$[1,\sqrt 2)$．

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三、轨迹问题

（1）等腰三角形顶点是$A(4,2)$，底边一个端点是$B(3,5)$，另一个端点$C$的轨迹方程是________________；

（2）直线$l:y=k(x-5)$与圆$O:x^2+y^2=16$相交于$A,B$两点，当$k$变动时，弦$AB$的中点$M$的轨迹方程是______________．

答案　（1）$(x-4)^2+(y-2)^2=10,(x,y)\ne (3,5)\land(x,y)\ne (5,-1)$；

（2）$x^2+y^2-5x=0,0\leqslant x<\dfrac {16}{5}$．